선형 구속 조건으로 볼록 함수 최대화

$$\text{maximize } f(\mathbf{x}) \quad\text{subject to } \mathbf{Ax} = \mathbf{b}$$

어디

$$f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^N\sqrt{1+\frac{x_i^4}{\left(\sum_{i=1}^{N}x_i^2\right)^2}},$$

$\mathbf{x} = [x_1,x_2,...,x_N]^T \in \mathbb{R}^{N\times 1}$ 및 .$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{M\times N}$

가 볼록하고 형식 임을 알 수 있습니다 . 또한 가 묶여 있음을 알 수 있습니다 . 볼록한 최대화 문제는 일반적으로 NP-hard라는 것을 알고 있습니다.$f$$\sqrt{1+y^2}$$f$$[\sqrt{2}, 2]$

그러나 문제의 특정 특성을 사용하여 표준 볼록 최적화 소프트웨어 / 패키지를 사용하여 문제를 해결할 수 있습니까?

예, 동등 구속 조건을 갖는 볼록 최적화는 일반적으로 NP-Hard입니다. 그러나 Coordinate Descent와 같은 볼록 최적화 문제에 대한 매우 근사한 해결책을 찾는 성숙한 기술이 있습니다.

좌표 하강을 사용하고 행렬 A의 순위가 라고 가정합니다 . 실행 가능한 솔루션 nk-1 좌표를 수정 하면 솔루션 공간의 솔루션 벡터가 하나의 좌표 (예 : 로 고유하게 결정됩니다 . 이 경우 와 관련하여 의 미분 을 반복에서 최대 값을 찾을 수 있습니다.$k$$x = (x_1, x_2, x_3, ..., x_n)$$x_i$$f(\cdot)$$x_i$

그런 다음 nk-1 좌표를 반복적으로 수정하고 대략 최적의 좌표가 발견 될 때까지 솔루션을 개선합니다.