n multichoose k의 복잡성을 단순화합니다

반복적으로 n에서 k 요소를 선택하는 것과 동등한 시간 복잡성을 가진 재귀 알고리즘이 있으며 더 단순화 된 big-O 표현을 얻을 수 있는지 궁금합니다. 필자의 경우 는 보다 클 수 있으며 독립적으로 커집니다. $k$ $n$

특히, 나는 명백한 지수 표현을 기대합니다. 내가 지금까지 찾을 수있는 최선의 방법은 스털링의 근사 을 기반으로한다는 것입니다. 그래서 사용할 수는 있지만 더 좋은 것을 얻을 수 있을지 궁금했습니다. $O(n!) \approx O((n/2)^n)$

영형 ((\binom{엔 + 케이 - 1}{케이})) = 영형 (?)

$O\left({{n+k-1}\choose{k}}\right) = O(?)$

asymptotics combinatorics runtime-analysis

— yoniLavi
소스

이것은 매우 유용하지는 않지만 매우 흥미로운 Ramanujan의 계승 근사

— Pratik Deoghare

고마워요

n! \sim \sqrt{π} {(\frac{n}{e})}^{n} \sqrt[6]{8 n^{3} + 4 n^{2} + n + \frac{1}{30}}

$n! \sim \sqrt{\pi} \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt[6]{8n^3 + 4n^2 + n + \frac{1}{30}}$ 모양 근사한 근사치와 비슷하지만 실제로 이것을 단순화하는 데 도움이되지 않는 것 같습니다.

— yoniLavi

답변:

편집 : 이 대답은 $k<n$ 입니다. 의 관점에서 $k$ 를 제한하지 않으면 , 표현은 제한되지 않는다. $n$

경우 다음식이된다 . 해당 공지에 대한 스털링의 공식에 의해 모든 여기서 는 이진 엔트로피입니다. 특히 입니다. 따라서 $k=n-1$ $O\left ({{2(n-1)}\choose{n-1}}\right)$ $0<\alpha<1$

(\binom{m}{α m}) = Θ (m^{- 1 / 2} 2^{H (α) m}),

${m \choose {\alpha m}}= \Theta(m^{-{1/2}} 2^{H(\alpha)m}),$

H (q) = - q \log q - (1 - q) \log (1 - q)

$H(q)=-q \log q - (1-q) \log (1-q)$

H (1 / 2) = 1

$H(1/2)=1$

k = n - 1

$k=n-1$

O ((\binom{2 (n - 1)}{n - 1})) = Θ ((2 n - 2)^{- 1 / 2} 2^{2 n - 2}) = Θ (\frac{4^{n}}{\sqrt{n}}) .

$O\left ({{2(n-1)}\choose{n-1}}\right)=\Theta((2n-2)^{-{1/2}} 2^{2n-2})=\Theta\left(\frac{ 4^{n}}{\sqrt{n}}\right).$

상한 이 최악의 경우이므로 (이걸 보여주기 위해 연습으로 남겨 두십시오), 식은 . $k=n-1$ $O\left(\frac{ 4^{n}}{\sqrt{n}}\right)$

— 슐츠
소스

고마워, 내가 찾던 정확히! 정보 이론을 공부하도록 동기를 부여하는 또 다른 방법입니다.

— yoniLavi

@ Falcor84 : 마지막 전환에서 오타가 작았습니다. 제곱근 부분은 분모로 가야합니다. 따라서 경계는 Paresh가 제시 한 것보다 약간 낫습니다. (사실, 한계는

— 무증상

나도 그 마이너스 부호를 알아 차렸어야했는데 다시 감사합니다.

— yoniLavi

이 최악의 경우 "운동으로 남음"이라는 말이 잘못되었습니다. 경우 , 식이다 . 항상 이상인 것은 아닙니다 .

k = n - 1

$k = n-1$

n = 3

$n=3$

(\binom{k + 2}{k}) = (\binom{k + 2}{2}) = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2}

${k+2 \choose k} = {k+2 \choose 2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

(\binom{4}{2}) = 6

${4 \choose 2} = 6$

— 피터 쇼어

이후 , 문제가 대칭 인 과 내 경우에 관계없이 성장할 수 ( ). 따라서 더 정확한 대답은 대답의 마지막 부분에서 n을

(\binom{n + k - 1}{k}) = (\binom{n + k - 1}{n - 1})

${{n+k-1}\choose{k}} = {{n+k-1}\choose{n-1}}$

n

$n$

k

$k$

x := m a x (n, k)

$x := max(n,k)$

— 바꾸는 것입니다.

Wolfram은 Sondow (2005) [1]와 Sondow and Zudilin (2006) [2]은 불평등을 지적했다 : 위한 은 양의 정수와 실수.

\frac{1}{4 아르 자형 미디엄} {[\frac{(아르 자형 + 1)^{아르 자형 + 1}}{{아르 자형}^{아르 자형}}]}^{미디엄} < (\binom{(아르 자형 + 1) 미디엄}{미디엄}) < {[\frac{(아르 자형 + 1)^{아르 자형 + 1}}{{아르 자형}^{아르 자형}}]}^{미디엄}

$\frac{1}{4rm}\left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m < {(r+1)m \choose m} < \left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m$

m

$m$

r \geq 1

$r\ge 1$

그런 다음 을 및 .

(\binom{엔 + 케이 - 1}{케이}) < (\binom{엔 + 케이}{케이}) = (\binom{(아르 자형 + 1) 미디엄}{미디엄})

${n+k-1\choose k} < {n+k\choose k} = {(r + 1)m \choose m}$

r = \frac{n}{k}

$r = \frac{n}{k}$

m = k

$m = k$

그러면

(\binom{엔 + 케이 - 1}{케이}) < {[\frac{(아르 자형 + 1)^{아르 자형 + 1}}{{아르 자형}^{아르 자형}}]}^{미디엄} = {(\frac{엔 + 케이}{케이})}^{엔 + 케이}

${n+k-1\choose k} < \left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m = \left(\frac{n+k}{k}\right)^{n+k}$

이제 이항식은 파스칼 삼각형의 중간에서 가장 높은 값을 갖습니다. 따라서이 경우 또는 입니다. $n+k = 2k$ $k = n$

위의 불평등을 대체하면 됩니다.

(\binom{엔 + 케이 - 1}{케이}) < 2^{2 엔} = 4^{엔}

${n+k-1\choose k} < 2^{2n} = 4^n$

따라서 더 엄격한 경계는 입니다.

(\binom{엔 + 케이 - 1}{케이}) = 영형 (4^{엔})

${n+k-1\choose k} = O(4^n)$

최대 값의 하한이 임을 알 수 있습니다.

(\binom{엔 + 케이 - 1}{케이}) = Ω (\frac{4^{엔}}{엔})

${n+k-1\choose k} = \Omega\left(\frac{4^n}{n}\right)$

참고 문헌 :
[1] Sondow, J. "문제 11132." 아 메르 수학. 월간 112, 180, 2005.
[2] Sondow, J. 및 Zudilin, W. "Euler의 상수, q- 로그, 및 Ramanujan 및 Gosper의 공식"Ramanujan J. 12, 225-244, 2006.

— 파레시
소스