계산 가능한 실수의 결정 가능한 속성

"계산 가능한 현실에 대한 쌀의 정리"가 있습니까?

이것은 현실의 연결성과 어떤 직접적인 방식으로 일치합니까?

그렇습니다. 쌀에 대한 현실에 대한 정리는 모든 합리적인 버전의 계산 가능한 현실에 적용됩니다.

먼저 특정 정리와 추론을 증명하고 나중에 계산 가능성과 어떤 관련이 있는지 설명하겠습니다.

정리 : 가정$p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$ 지도이고 $a, b \in \mathbb{R}$ 그런 두 가지 현실 $p(a) = 0$ 과 $p(b) = 1$. 그런 다음 코시 시퀀스가 ​​있습니다$(x_i)_i$ 그런 $p(\lim_i x_i) \neq p(x_j)$모든 .$j \in \mathbb{N}$

증명. 다음과 같이 일련의 실수 를 구성합니다 : 모든 대해 관찰하십시오 .$(y_i, z_i)_i$

$$\begin{align*} (y_0, z_0) &= (a, b) \\ (y_{i+1}, z_{i+1}) &= \begin{cases} (y_i, (y_i + z_i)/2) & \text{if $p((y_i + z_i)/2) = 1$} \\ ((y_i + z_i)/2, z_i) & \text{if $p((y_i + z_i)/2) = 0$} \\ \end{cases} \end{align*}$$ $i \in \mathbb{N}$

• $p(y_i) = 0$ 및$p(z_i) = 1$
• $|z_i - y_i| = |b - a| \cdot 2^{-i}$
• $|y_{i+1} - y_i| \leq |b - a| \cdot 2^{-i}$
• $|z_{i+1} - z_i| \leq |b - a| \cdot 2^{-i}$

따라서 시퀀스 및 는 Cauchy이며 공통점 됩니다. 경우 우리가 가지고 경우 및 우리가 가지고 . $(y_i)_i$$(z_i)_i$$c = \lim_i y_i = \lim_i z_i$$p(c) = 0$$(x_i)_i = (z_i)_i$$p(c) = 1$$(x_i)_i = (y_i)_i$$\square$

추론 : 가정하자 와 되도록 두 실수 및 . 그런 다음 모든 Turing 머신은 영원히 실행되거나 영원히 실행되지 않습니다.$p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$$a, b \in \mathbb{R}$$p(a) = 0$$p(b) = 1$

증명. 정리에 따르면 모든 대해 가 Cauchy 시퀀스 있습니다. 일반성을 잃지 않으면 서 이고 이라고 가정 할 수 있습니다 .$(x_i)_i$$p(x_j) \neq p(\lim_i x_i)$$j \in \mathbb{B}$$p(x_j) = 1$$p(\lim_i x_i) = 0$

를 튜링 머신 이라고하자 . 로 시퀀스 정의 는 단계 까지 시뮬레이션 하고 그 단계가 그 단계에서 멈췄는지 아닌지를 결정할 수 있기 때문에 순서가 잘 정의되어 있습니다 . 다음으로, 가 Cauchy 시퀀스이므로 는 Cauchy 시퀀스 입니다. 이라고하자 . 어느 또는 :$T$$y_i$

$$y_i = \begin{cases} x_j & \text{if $T$ halts in step $j$ and $j \leq i$}\\ x_i & \text{if $T$ does not halt within $i$ steps} \end{cases}$$ $T$$i$$(y_i)_i$$(x_i)_i$$z = \lim_i y_i$$p(z) = 0$$p(z) = 1$

• 만약 후 영원히 달린다. 실제로 단계 후에 중지되면 이므로 은 모순 됩니다.$p(z) = 0$$T$$j$$z = x_j$$p(z) = p(x_j) = 1$$p(z) = 0$

• 만약 다음, 영원히 실행되지 않는다. 사실, 그랬다면, 우리는 것이다 하고, 그래서 모순, . $p(z) = 1$$T$$z = \lim_i x_i$$p(z) = p(\lim_i x_i) = 0$$p(z) = 0$$\square$

이제 이것이 왜 우리에게 실수에 대한 쌀의 정리를 제공하는지 설명 할 수 있습니다. 증명은 건설적이므로 계산 가능한 절차를 수행합니다. 이것은 소위 계산할 수있는 계산 모델과 실수의 계산 구조에 해당됩니다. 실제로, 프로그램을 구축하기위한 지침으로 돌아가서 증명을 읽을 수 있습니다. 모든 단계는 계산 가능합니다.

따라서 계산 가능한 맵 있고 계산 가능한 있으면 이고 , 우리는 정리의 구성 적 증거로부터 발생하는 계산 가능한 절차를 적용하여 Halting oracle을 만들 수 있습니다. 그러나 Halting 오라클은 존재하지 않으므로 모든 계산 가능한 맵 은 일정합니다.$p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$$a, b \in \mathbb{R}$$p(a) = 0$$p(1) = 1$$p : \mathbb{R} \to \{0,1\}$

보충 : 라이스 정리가 실재의 연결성과 관련이 있는지에 대한 질문도있었습니다. 그렇습니다. 그것은 실재가 연결되었다는 진술입니다.

우리가 먼저 연속 맵 관찰하자 (우리가 이산 토폴로지 걸릴 분리 된 clopen 한 쌍의 대응)을 설정 (닫힌 및 오픈) 이므로 입니다. 실제로 및 취하십시오 . 는 연속적이고 및 은 열려 있기 때문에 와 는 열려 있고 분리되어 있으며 분명히 모든 합니다. 반대로 모든 쌍$p : X \to \{0,1\}$$\{0,1\}$$U, V \subseteq X$$U \cup V = X$$U = p^{-1}(\{0\})$$V = p^{-1}(\{1\})$$p$$\{0\}$$\{1\}$$U$$V$$X$$(U,V)$ 덮는 분리 된 clopens $X$ 연속지도를 결정합니다 $p : X \to \{0,1\}$ 그 요소를 매핑 $U$ 에 $0$ 그리고의 요소 $V$ 에 $1$.

이것으로부터 우리는 공간을 배웁니다 $X$ 연속지도가있는 경우에만 연결이 끊어집니다. $p : X \to \{0,1\}$ 과 $a, b \in X$ 그런 $p(a) = 0$ 과 $p(1) = b$ (우리는 필요 $a$ 과 $b$ 우리는 사소한 분해를 얻을 수 있도록 $X$). 같은 것을 말하는 또 다른 방법이 있습니다 : 공간$X$ 모든 연속 맵인 경우에만 연결됩니다 $X \to \{0,1\}$ 일정하다.

계산 가능한 수학에는 기본 정리가 있습니다. 모든 계산 가능한 맵은 연속적 입니다. 따라서 우리가 계산 가능한 물체의 영역 안에있는 한, 라이스 정리는 실제로 특정 공간이 연결되어 있다고 말합니다. 고전 쌀 정리의 경우 문제의 공간은 부분 계산 기능의 공간입니다$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$.

아니요. 또는 최소한 증명은 사소한 것이 아닙니다. 실제로 계산할 수있는 (일반적으로 많은) 방법 중에서 선택할 수 있고 선택한 속성을 포함한 전체 구조를 가진 방법을 선택할 수 있습니다. 중지 테스트로 속성 테스트를 줄이지 않습니다.

또한, "사소하지 않은"이 숫자의 속성을 의미한다는 것을 더 잘 이해해야한다고 생각합니다. 라이스 정리에서 "사소하지 않은"은 기본적으로 구문이 아니며 구문에 의해 암시되지 않습니다. 그러나 각 계산 가능한 실수는 단일 프로그램이 아니라 프로그램으로 가득한 동등 클래스입니다.