인피 마로 부분적으로 정렬 된 우선 순위에 대한 우선 순위 큐

나는 우선 순위가 복합 형이고 일부만 정렬 된 객체를 가지고 있습니다 . 이 우선 순위에 따라 객체를 선택해야합니다 (즉, 매번 최소 항목 생성 ). 그러나 임의로 주문을 완료하는 대신 큐가 안정된 경우 최소 요소가 두 개 이상인 경우 가장 오래된 요소를 먼저 반환해야합니다.

부분 순서와 작동하는 힙 데이터 구조가 있습니까? 또는 일반 우선 순위 대기열을 수정하여 작업합니까? 필요한 알고리즘에 대한 일반적인 선택은 간단한 이진 또는 4 진 힙이지만 부분 순서로는 작동하지 않습니다.

우선 순위 값은 다음을 지원합니다.

1. 작업을 사용한 부분 순서 $\preccurlyeq$ . 부분 순서이므로 $a \preccurlyeq b$ 는 false이고 $b \preccurlyeq a$ 는 false 일 수도 있습니다. 나는 쓰기 ⋚ ̸ 나 그 경우입니다.$a \not\lesseqgtr b$
2. y y ≼ x i n O ( n $\inf(x_i)$$y$$y \preccurlyeq x_i$$n$$O(n)$
3. 부분 순서에 대한 선형 확장을 정의 할 수 있습니다. 알고리즘이 그런 식으로 작동하므로 우선 순위 대기열에 사용하는 것이 쉬운 방법입니다. 그러나 순서는 성능에 영향을 미치며 삽입 순서는 최악의 경우를 피하는 것이 가장 좋습니다.

또한 이것을 사용하려는 알고리즘은 대기열의 모든 우선 순위를 파악해야합니다.

우선 순위는 실제 의미를 갖지만 변경 될 수 있으므로 다른 속성에 의존 할 수는 없습니다.

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참고 : 이진 힙은 부분 순서로 작동하지 않습니다. $a$ , $b$ 및 c 로 이진 힙을 가정합니다 $c$. 여기서 $a \preccurlyeq c$ 및 $a \not\lesseqgtr b$ 및 $a \not\lesseqgtr c$ 입니다. 순서대로 배치되므로

     a (0)
   /   \
 b (1)   c (2)

이제 d 가 삽입되었습니다. 다음 자유 위치는 b 의 왼쪽 자식 인 3 $b$이므로

        a (0)
      /   \
    b (1)   c (2)
  /
d (3)

경우 (의미하는 이행 성에서, 그러나에 대해 아무것도 말하지 않는다 와 )와 , 다음 함께 교환되지 않습니다 는 이하이기 때문에. 그러나 실제로는 보다 작지만 비교되지 않으므로 주 힙 불변은 유지되지 않습니다. 최고는 최소가 아닙니다.d ≼ c d b d ⋚ ̸ b d b $d \preccurlyeq a$$d \preccurlyeq c$$d$$b$$d \not\lesseqgtr b$$d$$b$$a$

나는 이항 힙 스타일의 힙 포리스트가 작동 할 수 있다고 생각합니다. 기본적으로 항상 새로운 값을 루트와 비교하고 비교 가능한 요소 만 함께 연결하는 것이 중요합니다. 따라서 포리스트의 트리가 임의의 크기로 만들어 지므로 힙에서 서로 비교할 수없는 세트 수에 따라 복잡성이 달라집니다. 다소 복잡성을 해결할 수 없다고 생각합니다 (비슷한 요소에 도달 할 때까지 비교를 계속해야합니다). 내가 놓친 것일 수도 있으므로 이것을 열어 둡니다.

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참고 : 순서는 부분적 이며 선형 확장을 정의하는 방법이 있지만 타임 스탬프를 추가하고이를 보조 기준으로 사용하는 것은 그 중 하나 가 아닙니다 . 우리는 타임 스탬프에 할당한다고 가정 각 상기 순서 정의 로서 IFF 또는 ( 및 . 그런 다음 우리는 별개 있다고 가정 , , , 등 그 및 . 그런 다음 와a ≼ ′ a ≼ ′ b a ≼ b b ⋠ a t ( a ) ≤ t ( b ) a b c t ( a ) ≤ t ( b ) ≤ t ( c ) c ≤ a a ≼ ′$t(a)$$a$$\preccurlyeq'$$a \preccurlyeq' b$$a \preccurlyeq b$$b \not\preccurlyeq a$$t(a) \le t(b)$$a$$b$$c$$t(a) \le t(b) \le t(c)$$c \le a$$a \preccurlyeq' b$$b \preccurlyeq' c$ 이지만 이므로 관계는 전 이적이지 않으므로 순서가 아닙니다. 이러한 종류의 확장은 약한 주문에만 적용되지만 부분적인 주문에는 적용되지 않습니다.$c \preccurlyeq' a$

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편집 : 나는 정의 된 집합에 충실하지 않을뿐만 아니라 실제로 대기열에있는 요소를 효율적으로 얻을 수 있어야한다는 것을 깨달았습니다. 따라서 하위 힙을 포함하는 특수 노드를 공통 힙 구조에 추가하는 것이 도움이 될지 여부를 고려하고 있습니다.

원래 질문에 제기 된 정확한 문제는 어려운 것처럼 보이지만 (그리고 나는 그 문제에 대한 해결책, 특히 infima 찾기 부분에 관심이있을 것입니다). 부분적으로 순서가 지정된 세트가 실제로 제품 순서를 사용하는 벡터로 구성되어 있고 우선 순위 대기열이 부분 순서와 "호환되는"순서로 값을 반환한다고 보장하는 것으로 충분하다면 즉, 작은 요소는 항상 큰 요소보다 먼저 반환됩니다), 그렇게하는 쉬운 방법이 있습니다.

아이디어는 본질적으로 부분적으로 정렬 된 세트의 토폴로지 순서를 찾는 것입니다. 즉, 총 순서 ' '이므로 a ≤ $\le_T$ . 제품 주문을 사용하는 벡터의 경우 이것은 매우 쉽습니다 : 사전 식 순서 ' ≤ S '를 사용하십시오. 여기서 첫 번째 "구성 요소"는 제품 주문에 사용 된 모든 구성 요소의 합계입니다 (나머지 구성 요소는 본질적으로 임의의 따라서 약한 순서를 고수 할 수도 있습니다). 우리는 그 볼 수 < $\mathbf{a}\le\mathbf{b}\implies \mathbf{a}\le_T\mathbf{b}$$\le_S$ 및 a =

$$\mathbf{a}<\mathbf{b}\implies \forall_i(a_i\le b_i)\text{ and }\exists_i(a_i<b_i)\implies(\sum_i a_i)<(\sum_i b_i)\implies\mathbf{a}\le_S\mathbf{b}$$ 따라서 그 ≤ $$\mathbf{a}=\mathbf{b}\implies \forall_i(a_i=b_i)\implies(\sum_i a_i)=(\sum_i b_i)\implies\mathbf{a}\le_S\mathbf{b},$$ . 따라서 우선 순위 대기열과 함께이 순서를 사용할 수 있으며 더 큰 요소보다 작은 요소 (제품 순서로)를 항상 추출 할 수 있습니다.$\mathbf{a}\le\mathbf{b}\implies\mathbf{a}\le_S\mathbf{b}$

부분 주문을 완료하는 데 어떤 문제가 있습니까?

그러나 임의로 주문을 완료하는 대신 큐가 안정된 경우 최소 요소가 두 개 이상인 경우 가장 오래된 요소를 먼저 반환해야합니다.

'가장 오래된 것'을 선호하면 주문이 효과적으로 완료됩니다. '비교할 수없는'항목은 연령별로 비교할 수 있습니다.

각 항목에 타임 스탬프 (또는 기타 단조 증가하는 정수)를 추가하고 '실제'비교가 불가능한 경우 사용하십시오.

편집 : 이것은 흥미로운 문제인 것 같습니다. 그리고 그것에 대해 약간의 연구가있었습니다. 나는 당신이 다음을 읽을 것을 제안합니다 :

1. 대럴 레이몬드 University of Waterloo의 박사 학위 논문의 일부 주문 데이터베이스.

Daskalakis, Constantinos, et al. "포셋에서 정렬 및 선택." SIAM Journal on Computing 40.3 (2011) : 597-622.

저자는 여기에 poset과 체인 으로의 체인 분해를 허용하는 ChainMerge라는 데이터 구조를 제시합니다 . 상기 데이터 구조의 크기는 O ( N에서 Q ) . 저자는 O ( w n ) 에서 실행되는 최소값을 찾기위한 알고리즘을 제시합니다. 여기서 w 는 포셋 너비의 상한입니다. .. 나는 이것이 흥미로울 것이라고 생각했다.$q$$O(n q)$$O(w n)$$w$

참고 : 이전 순진한 답변을 삭제했습니다. 그것을 보려면 편집을 클릭하십시오.

용어를 잘못 사용했을 수 있습니다. 찾은 문제를 해결하려면 답변을 직접 수정하십시오.

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먼저 입력에서 서로 비교할 수없는 세트를 감지해야합니다.

예를 들어, 5 개의 객체가있을 수 a, b, c, d, e있지만 부분 순서는 두 개의 연결이 끊어진 그래프를 형성합니다.

• a ≤ b ≤ c
• d ≤ e
• 그러나 어느 것도 어느 {a, b, c}것과도 비교할 수 없습니다 {d, e}.

객체를 적절한 데이터 구조에 저장하려면 먼저 서로 비교할 수없는 세트를 먼저 감지해야합니다. 이것은 Union find 알고리즘 으로 수행 할 수 있습니다

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효율성을 높이려면 새 개체를 삽입 할 때 "이 새 개체와 비슷한 기존 개체 목록"을 찾는 효율적인 방법이 필요합니다.

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이제 각 하위 집합 내 (각각 {a, b, c}및 {d, e}) 내 에서 최소값을 잘 정의해야합니다. (각 서브 세트마다 부분 순서로 인해 하나 이상의 최소값 이있을 수 있습니다 .)

나는 이것을 방향성 비순환 그래프 로 본다 . 그것을 힙에 맞추려고 노력하는 것은 비참한 것 같습니다.

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이 복합 데이터 구조에서 최소값을 추출하려면 다음 단계는 모든 서브 세트에서 모든 최소값 목록을 가져 와서 시간 소인이 가장 빠른 것을 선택하고이 오브젝트를 제거하고 리턴하는 것입니다.

내가 작업중 인 프로젝트에는 비슷한 문제가 있습니다 (우연히 벡터의 일부 순서를 사용하고 있습니다). 우리는 이미 무작위로 정렬 된리스트를 정렬하기위한 2 차 시간 알고리즘을 가지고 있었고, 하나의 객체 만 고장 났을 때의 동작을 관찰하여 삽입 알고리즘을 개발했습니다. 이것이 가장 빠른 구현인지는 알 수 없습니다.

여기 의사 코드가 있습니다.

class PartialOrderPriorityQueue
   q <- empty list
   method insert (n):
     for i <- 0 to (q.length - 1):
       if q[i] <= n:
         t <- q[i]
         q[i] <- n
         n <- t
     q.append(n)

   method pop():
     return q.remove(0)

일반적인 힙 동작은 새 값을 뒷면에 추가 한 다음 상위보다 큰 값을 비교하는 것입니다.

부모에 대해 동일한 결과를 반환하는 비교를 작성하고 parent가 child보다 큰 경우와 비교할 수없는 경우 sift up은 여전히 ​​올바른 지점에서 종료되어야합니다.

그것은 당신의 목적을 위해 충분히 안정적인 주문으로 간주됩니까?

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명확히하기 위해 귀하의 의견에서 예를 들어보십시오 : a> b , c 는 a 또는 b 와 비교할 수 없습니다 :

• a 다음 b 다음 c => a, b, c ... 이것은 이미 힙 순서이며, sift-up에서 아무것도 움직이지 않습니다.
• b, a, c => a, b, c ... a는 올바른 위치로 분류되고 다시 올바른 힙 순서입니다.
• a, c, b => a, c, b ... b는 c와 비교할 수 없으므로 체로 거를 수 없지만 요청 한대로 FIFO 순서로 남겨 둡니다.
• c, b, a => c, a, b ... a 및 b는 올바른 상대 순서이지만 c와 비교할 수 없기 때문에 c보다 앞서 갈 수는 없습니다.

따라서 결과는 삽입 순서에 따라 다릅니다. 이것은 요청한 것과 일치하는 것 같지만 실제로 원하는지 확실하지 않습니다. 그렇지 않은 경우 원하는 결과를 보여줄 수 있습니까?

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여러분의 의견 (및 질문에 대한 편집)에서 "비교할 수있는"요소가 "비교할 수없는"요소를 뛰어 넘고 순서에 따라 올바른 장소를 찾는 것이 좋습니다. 어떻게 해석해야할지 모르겠 기 때문에 이에 대해 물었습니다.

일부 요소가 비교할 수없는 경우 삽입 된 순서대로 요소를 반환합니다.

(d와 b는 편집에서 쌍으로 비교할 수 없지만 삽입 된 순서대로 원하지 는 않습니다 ).

다음 질문은 "비교할 수있는"요소와 "비교할 수없는"요소 사이의 관계에 관한 것이었지만 이제는 제품 순서에 따라 벡터라는 것을 알았습니다. NaN과 같은 모든 것과 비교할 수 없음 ).

따라서 새로운 예를 들어 벡터 값을 할당하면 b가 다른 것과 비교할 수없는 예인 것이 맞습니까?

        a (1,1)
      /      \
    b (0,4)   c (3,3)
  /
d (2,2)

그리고 이것으로 정렬해야합니다 :

        a (1,1)
      /      \
    d (2,2)   c (3,3)
  /
b (0,4)

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