스패닝 트리 문제의 NP 완전성 증명

강사가 질문 한 내용에 대한 힌트를 찾고 있습니다.

그래서 나는이 결정 문제가 라는 것을 알았습니다 $\sf{NP\text{-}complete}$.

그래프 에는 잎 에 세트가 포함 된 스패닝 트리가 ? 이 결정 문제에 대한 해밀턴 경로를 줄임으로써 임을 증명할 수있었습니다 .$G$$G$$S=\{x_1, x_2,\ldots, x_n\}$$\sf{NP\text{-}complete}$

그러나 선생님도 수업 시간에 우리에게 물었습니다.

또한이 될 것 경우 대신 "의 정확한 세트 "우리가$\sf{NP\text{-}complete}$$S$

" 의 전체 세트 및 가능하면 다른 잎"또는 " 하위 세트 "$S$$S$

"S의 부분 집합"은 일 것이라고 생각 하지만, 그것을 증명할 수는 없으며, 이것을 어떤 문제로 줄일 수 있는지 모르겠습니다. " 세트 포함 ..."은 다항식 시간으로 해결할 수 있다고 생각합니다.$\sf{NP\text{-}complete}$$S$

요컨대, 당신의 추측은 맞습니다. 이 답변의 목적을 위해 다음 세 가지 문제를 다음과 같이하겠습니다.

• 동등 버전 : 주어 그래프 및 세트 S ⊆ V는 , 결정할 G는 스패닝 트리 갖는 T 잎 세트되도록 T가 같은지 S를 . 언급했듯이 해밀턴 경로 문제를 줄임으로써 NP가 완벽합니다.$G = (V, E)$$S \subseteq V$$G$$T$$T$$S$
• 부분적인 버전 : 감안할 때 와 S 이상으로는 여부를 결정 G는 스패닝 트리가 T 에 나뭇잎의 집합 있도록 T는 의 부분 집합 S를 .$G$$S$$G$$T$$T$$S$
• 상위 버전 : 감안할 때 와 S 이상으로는 여부를 결정 G는 스패닝 트리가 T 에 나뭇잎의 집합 있도록 T가 의 상위 집합 S를 .$G$$S$$G$$T$$T$$S$

서브 세트 버전이 NP- 완료임을 증명하기 위해 여전히 Hamitonian 경로 문제를 줄일 수 있습니다. 동등 버전의 NP- 완전성 증명을 수정하십시오.

수퍼 세트 버전이 다항식 시간에 해결 될 수 있음을 증명하려면 그러한 트리 가 존재 하는 데 필요한 충분 조건을 찾으십시오 .$T$

[SK05]에서는 두 가지 버전 (및 스패닝 트리에 대한 다른 문제)을 연구합니다. 그러나 나는 종이를 보는 것이 큰 스포일러가 될 수 있기 때문에 종이의 증거를보기 전에 스스로 문제를 해결하려고하면 더 낫습니다. 불행히도 슈퍼 세트 버전에 대한 다항식 시간 알고리즘을 찾기 전에 논문을 살펴 보았습니다!

[SK05] Mohammad Sohel Rahman 및 Mohammad Kaykobad. 스패닝 트리에 대한 몇 가지 흥미로운 문제의 복잡성. 정보 처리 서한 , 94 (2) : 93–97, 2005 년 4 월. [ doi ] [ 저작 본 ]

이 힌트로는 S 문제의 상위 세트에 대한 해결책을 찾기에 충분하지 않았습니다. 힌트는 유용하고 정확합니다. 이것은 나를 생각하게하는 생각의 기차입니다.

G에서 S의 모든 정점을 제거하고 (VS) DFS가있는 스패닝 트리 T를 찾으면 어떻게됩니까? G에 아직 연결되지 않은 정점이있는 경우 v1이라고 말하십시오. S에서 제거 된 정점 중 적어도 하나의 역할에 대해 무엇을 말합니까? 그것은 현재 스패닝 트리에있는 일부 정점에서 v1의 경로에 있습니다. 따라서 잎에는 아이가 없기 때문에 잎이 될 수 없습니다. 연결되지 않은 노드가 없으면 S의 모든 정점이 잎이 스패닝 트리로 이어지는 가장자리가있는 경우 리프가 될 수 있습니다. 물론 S의 다른 정점에만 연결되는 S의 정점은 스패닝 트리에 연결되지 않으며 조건을 위반합니다. 따라서 확인할 두 가지 경우가 있습니다.

1. G에서 S를 제거하고 스패닝 트리를 찾은 후 S에없는 모든 노드가 연결된 경우
2. S의 각 노드를 스패닝 트리에 직접 연결할 수있는 경우