유 방향 그래프 진단이 NP-hard임을 증명

나는 한동안 머리를 부딪친 숙제를 받았으며 어떤 힌트라도 감사하겠습니다. NP- 완전성이 입증 된 알려진 문제를 선택하고 그 문제에서 다음 문제로의 축소를 구성하는 것을 DGD (지정 그래프 진단)라고합니다.

문제

DGD 의 인스턴스는 꼭짓점 , 지정 모서리 및 양의 정수 됩니다. 세 가지 유형의 꼭지점이 있습니다 : 들어오는 모서리 만있는 꼭지점, 나가는 모서리 만있는 꼭지점 및 들어오는 모서리와 나가는 모서리 꼭지점입니다 . 또한 보자 .$(V,E,k)$$V = I \overset{.}{\cup} O \overset{.}{\cup} B$$E$$k$$I$$O$$B$$D=O\times I$

이제 문제는 우리가 가장에서 모든 노드를 포함 할 수 있는지 여부입니다 의 요소 , 즉$k$$D$

$\qquad \displaystyle \exists\,S\subseteq D, |S|\leq k.\ \forall\, v\in V.\ \exists\,(v_1,v_2) \in S.\ v_1 \to^* v \to^* v_2$

여기서 는 에서 로의 경로가 있음을 의미합니다 .$a\to^* b$$a$$b$

Dominating Set 문제는 ​​내가 줄여야 할 문제라고 생각합니다.이 또한 다른 하위 집합으로 노드의 하위 집합을 다루는 것에 관련되어 있기 때문입니다. 먼저 지배 세트의 각 요소에 대해 두 개의 노드를 작성하고 모든 모서리를 복사 한 다음 DGD 인스턴스 의 를 DS 인스턴스 의 와 동일하게 설정 하여 DGD 인스턴스를 작성하려고했습니다.$k$

노드 , 및 및 엣지 및 가진 간단한 DS 인스턴스를 가정하십시오 . 이것은 인 예 인스턴스입니다 . 이 경우의 지배 세트는 노드 로만 구성됩니다 . 방금 설명한 방법으로 축소하면 두 개의 경로 와 의 DGD 인스턴스가됩니다 . 모든 노드를 커버하기 위해서는 한 쌍 만으로 충분합니다. 물론 DS 인스턴스의 지배적 인 세트가 다항식 시간으로 결정될 수는 없기 때문에 완벽하게 작동했을 것입니다.$1$$2$$3$$(1,2)$$(1,3)$$k = 1$$1$$(1 \to 2 \to 1')$$(1 \to 3 \to 1')$$(1, 1')$

축소 할 때 가장자리와 정점을 변환하는 좋은 방법이 많이 있다는 것을 알았지 만 내 문제는 어떻게 든 DGD의 를 DS의 입니다. 지배적 인 세트는 줄이는 데 문제가있는 것처럼 보였지만,이 때문에 나는 가없는 문제를 줄이기 위해 노력해야한다고 생각 합니까?$k$$k$$k$

대신 NP- 완료 SET-COVER 에서 줄이십시오 .

세트 커버의 인스턴스 으로 을 보자 . 다음 과 같이 DGD 의 인스턴스 를 정의하십시오 .$S_1,\dots,S_m \subseteq\{1,\dots,n\}$$k\in\mathbb{N}$$(V,E,k')$

• $V= \{s_1,\dots,s_m,o_1,\dots,o_m,e_1,\dots,e_n,o\}$
• $E= \{(s_i,o_i) \mid i = 1,\dots,n \} \cup \{(s_i,e_j)\mid j \in S_i\} \cup\{(e_j,o)\mid j=1,\dots,n\}$
• $k' = m + k$

주어진 세트 커버 인스턴스에 긍정적 인 답변이있는 경우에만 구성된 DGD 인스턴스에 긍정적 인 답변이 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 특히, 모든 를 커버하기 위해 모든 쌍 이 선택 한다. 다음 의 쌍 모두 커버 할 하고, 그 선택의 첫 번째 요소는 SET-COVER 인스턴스의 용액이다. 그러한 선택이 불가능하면 SET-COVER 인스턴스에도 해결책이 없습니다.$m$$(s_i,o_i)$$o_i$$k$$m$$(s_i,o)$$e_j$

다항식 시간에 구성이 가능 SET-COVER DGD를 증명 합니다.$\leq_p$

예를 들어, Wikipedia에 제공된 예제 세트 표지 인스턴스 , 즉 하고 . 이것은 다음 그래프로 변환됩니다.$\{1,2,3,4,5\}$$S=\{\{1,2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{4,5\}\}$

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