계산할 수없는 계산 가능한 집합이 있습니까?

세트는 자연수와 함께 bijection 이 있는 경우 셀 수 있으며 멤버를 열거하는 알고리즘이있는 경우 계산 가능합니다 (ce) .

열거 할 수없는 계산 가능한 집합은 계산할 수 있어야합니다.

계산할 수없는 계산 가능한 집합의 예가 있습니까? 즉,이 세트와 자연수 사이에 궤적이 존재하지만이 궤적을 계산할 수있는 알고리즘은 없습니다.

computability semi-decidability

— 피터 올슨
소스

완성 된 용어는 계산 가능하게 열거 할 수 있습니다. 많은 사람들이 "가산 가능"과 "열거 가능"은 동의어라고 말할 것입니다. 그에 따라 질문을 편집했습니다.

— Andrej Bauer

@AndrejBauer, 계산 및 재귀는 동의어입니까?

— rus9384

@ rus9384 예. Robert Irving Soare가 Turing-Post Relativized Computability and Interactive Computing (2011)에 다음 과 같이 글을 쓰면서 어휘와 관련하여 명확성이 지배되어야합니다 . Bull의 계산 및 재귀에 대한 기사를 썼습니다. Sym. "계산 가능"을 의미하기 위해 "재귀 적"이 아닌 "계산 가능"을 사용해야하는 역사와 과학적 이유에 대한 Logic (1996). “재귀 적”은 Dedekind와 Hilbert와 마찬가지로“유도 적”을 의미해야합니다. 처음에 그런 변화를 기꺼이하는 사람은 거의 없었습니다.

— David Tonhofer

답변:

열거 할 수없는 셀 수있는 집합의 예가 있습니까?

예. 자연수의 모든 부분 집합은 셀 수 있지만 모두 열거 할 수는 없습니다. (증명 : 하위 집합은 셀 수없이 많지만 열거 자 역할을 할 수있는 수많은 Turing 머신 만 있습니다.) 이미 알고 있는 하위 집합은 재귀 적으로 열거 할 수 없습니다. 모든 입력에 대해 정지하는 튜링 기계를 코딩하는 모든 숫자의 집합으로. $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$

— 데이비드 리처 비
소스

@JorgePerez 아니오 와 아니오 .

— David Richerby

이것은 존재를 증명하지만 실례는 아닙니다 ..

— BlueRaja-Danny Pflughoeft

예제를 제공하는 @ BlueRaja-DannyPflughoeft는 하나를 열거하는 것과 같습니다. "예를 들어 줄 수없는 것에 대한 예를 들어 줄 수 있습니까? 아니요? 예를 들어 줄 수없는 것은 없습니다." 간단히 말해 수학적 구성주의입니다.

— 와일드 카드

통화 중 비버 기능

의 이미지 가 그러한 설정입니까?

가 엄격하게 증가하기 때문에

과 함께 사소하게 생성 되지만

를 열거 할 수있는 튜링 머신은 없습니다 .

Σ

$\Sigma$

Σ

$\Sigma$

N

$\mathbb{N}$

Σ

$\Sigma$

— orlp

@Wildcard 아니요, 예제를 제공하는 것은 정의 하는 것과 같습니다 . 중지 할 수없는 모든 Turing 머신 세트와 같이 알고리즘으로 열거 할 수는 없지만 정의 할 수있는 세트가 있습니다.

— Tanner Swett

예, 모든 결정 불가능한 (반 결정 불가능한) 언어에는이 속성이 있습니다.

예를 들어, 세트 것을 고려하십시오 . $L = \{(x,M) \mid M \text{ does not halt on input } x \}$

이 세트의 멤버를 열거 할 수있는 알고리즘이 있다고 가정하십시오. 이러한 알고리즘이 존재 하면 다음 알고리즘을 사용하여 입력 의 정지 문제를 해결하는 데 사용할 수 있습니다 . $x,M$

에서 단계 동안 머신 을 실행 하고 의 번째 멤버를 열거하는 것의 대안 . $M$ $n$ $x$ $n$ $L$

은 중단되거나 중단되지 않습니다. 정지하면 결국정지 상태에 도달하는 을 찾습니다. 멈추지 않으면 결국열거에서 에도달합니다. $M$ $x$ $n$ $(M,x)$

따라서 우리는 축소가 있으며 그러한 열거가 존재하지 않는다고 결론 내릴 수 있습니다.

이러한 결정은 반 결정 가능한 문제에 대해 존재할 수 있습니다. 예를 들어, 단계 후 모든 Turing Machine 실행의 모든 가능한 추적을 열거하여 모든 중지 시스템 입력 쌍 세트를 열거 하고 정지 상태로 끝나지 않는 항목을 필터링 할 수 있습니다. $n$

— jmite
소스

헤아릴 수없는 복잡한 언어가 없습니까?

— rus9384

무슨 말인지 잘 모르겠습니다. "계산 불가능"은 크기의 측정입니다. "복잡성"은 결정하기가 얼마나 어려운지를 나타내는 척도입니다. 그러나 유한 문자열의 셀 수없는 언어는 없습니다. 언어를 셀 수 없게하려면 무한 문자열 (또는 셀 수없는 "알파벳"또는 둘 다)을 허용해야합니다.

— David Richerby

@DavidRicherby, jmite는 모든 결정 불가능한 문제가 유한 문자열로 작동한다고 주장합니까? 나는 그것이 Turing이 인식 할 수있는 모든 결정 불가능한 문제에 대해서만 적용된다고 생각합니다 .

— rus9384

@ rus9384 유한 알파벳 이상의 모든 언어는 셀 수 있으며 계산 능력은 일반적으로 무한 알파벳을 무시합니다. 이 질문 도 참조하십시오 .

— jmite

@ rus9384 그렇습니다. 언어는 유한 알파벳보다 유한 문자열입니다. 그러한 것은 셀 수 있습니다. 셀 수없는 언어를 얻으려면 해당 정의에서 "finite"인스턴스 중 하나 또는 둘 다를 제거해야합니다. 그러나 누군가가 "언어"라고 말하면 유한 알파벳 위에 유한 문자열 세트를 의미합니다.

— David Richerby

계산 이론에서 우리는 , 부분 집합을 다룬다 . 이 언어는 셀 수없이 무한하므로 모든 하위 집합 는 셀 수 있습니다. 또한, 보충은 재귀 적으로 열거 할 수없는 많은 결정 불가능하지만 재귀 적으로 열거 가능한 언어가 있습니다. 이 언어는 하위 집합 이므로 계산할 수 있습니다. $\Sigma^*$ $\Sigma = \{0,1\}$ $L \subseteq \Sigma^*$ $\Sigma^*$

— 페이드 2 블랙
소스

이진 문자열을 다룰 필요는 없습니다. 우리가 다른 알파벳보다 문자열에 관심이있는 경우가 많으며, 계산 "재귀 이론"이라고 부르는 사람들은 자연수 집합을 직접 다루는 경향이 있습니다. (즉, 숫자 자체는 기본으로

— 보이며

몇 주 전에 @DavidRicherby 당신은 Yuvals 답변에 대한 의견에서 반대라고 주장했습니다. 그리고 이것은 첫 번째 유사한 사례가 아닙니다.

— fade2black

Yuval은 많은 답변을 게시하고 많은 의견을 게시하므로 더 구체적이어야합니다. 나는 분명히 위의 의견을 기다립니다. 따라서 어느 시점에서 반대라고 말하면 잘못되었거나 혼란 스럽거나 오해하거나 특정 시나리오 또는 이와 비슷한 것에 대해 이야기하고 있습니다. 내가 당신을 혼란스럽게해서 미안합니다. 특히 불분명하거나 잘못된 말을해서 해냈습니다!

— David Richerby

@DavidRicherby, 사실 각각의 유한 알파벳은 이진수로 축소 될 수 있으므로 어떻게 중요한지 이해하지 못합니다. 또는이 경우에 무한한 알파벳이 있습니까 (각 숫자에는 고유 한 기호가 있습니까)?

— rus9384

@ rus9384 대답은 계산 이론이 알파벳

만 고려한다는 것을 암시하는 것처럼 보이지만 사실은 아닙니다. 계산 이론이 문자열 집합만을 고려한다는 것은 사실이 아닙니다. 나는 이진 문자열로 제한하는 것이 이론에 큰 영향을 미치지는 않지만, 예를 들어 더 큰 알파벳을 사용하여 결과를 쉽게 증명할 수 있도록하는 것이 일반적이라는 데 동의합니다.

{0, 1}

$\{0,1\}$

— David Richerby