이진 힙 증명에는

나는 것을 증명하기 위해 노력하고있어 바이너리 힙 과 노드가 정확히이 ⌈ $n$힙이 다음과 같은 방식으로 구축 된 경우 2 ⌉의잎 :$\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

각 새 노드는 percolate up을 통해 삽입 됩니다 . 즉, 사용 가능한 다음 자식에서 각각의 새 노드를 만들어야합니다. 내가 의미하는 바는 아이들은 수평으로 채워지고 왼쪽에서 오른쪽으로 채워진다는 것입니다. 예를 들어 다음 힙은 다음과 같습니다.

    0
   / \
  1   2

것 이 이 순서에 내장 된 것으로 : 0, 1, 2 (숫자들은 해당 노드에서 개최 된 실제 데이터의 징후를주지 단지 인덱스입니다.)

여기에는 두 가지 중요한 의미가 있습니다.

1. 레벨에는 노드가 존재하지 않을 수있는 레벨 않고 K가 완전히 채워지$k+1$$k$

2. 하위는 왼쪽에서 오른쪽으로 빌드되므로 레벨의 노드 사이 또는 다음과 같은 상황 에 "빈 공간"이있을 수 없습니다 . $k+1$

       0
      / \
     1   2
    / \   \
   3  4    6
   

(이것은 내 정의에 의해 잘못된 힙 일 것입니다.) 따라서이 힙을 생각하는 좋은 방법은 힙의 배열 구현 입니다.

그래서, 유도가 아마도 이것을하기에 좋은 방법이라고 생각했습니다. 아마도 n에 대한 이상한 경우조차도 다루어야 할 것입니다. 예를 들어, 이러한 방식으로 빌드 된 힙조차도 짝수 n에 대해 하나의 자식이 있고 홀수 n에 대한 해당 노드가없는 내부 노드가 있어야한다는 사실을 사용한 일부 유도. 아이디어?

질문을 올바르게 받으면 얻은 힙은 순서가있는 이진 트리입니다. 순서대로 k - 1 레벨이 완전히 채워진 후에 만 번째 레벨을 점유 할 수 있으며 각 레벨은 왼쪽에서 점유됩니다 건너 뛰지 않고 오른쪽으로$k$$k-1$

그런 다음 증거는 다음과 같습니다.

1. 깊이의 완벽한 트리 정확히이 2 K + (1) - (1) 노드를.$k$$2^{k+1}-1$
2. 힙이 깊이 도달한다고 가정하십시오 . 그러므로 $k$
   1. 최대 레벨 까지 나무가 완벽합니다 (그리고 2 k - 1 노드가 있습니다)$k-1$$2^k-1$
   2. 마지막 레벨에는 정확히 노드가 있으며 모두 노드입니다.$n-2^k+1$
3. 번째 수준 의 각 잎 에는 부모가 있습니다. 또한 두 개의 연속 된 각 잎에는 동일한 아버지가 있습니다 (아버지가 한 명의 자녀 만있는 마지막 노드는 제외).$k$
4. 따라서, 중 레벨에서 노드K-1, ⌈ N - 2 K + $2^{k-1}$$k-1$ 는 부모이고 나머지는 2 k - 1 − ⌈ n − 2 k + $\left\lceil \frac{n-2^{k}+1}{2} \right\rceil$잎입니다.$2^{k-1} - \left\lceil\frac{n-2^{k}+1}{2}\right\rceil$
5. 잎의 총량은 필요한 것을 제공합니다. $$n-2^k+1 + 2^{k-1} - \left\lceil\frac{n-2^{k}+1}{2}\right\rceil$$

더 간단한 논리적 증거가 있습니다.

$n^{th}$$\lfloor{n/2}\rfloor$$\lfloor n/2 +1\rfloor)^{th}$$\lfloor{n/2}\rfloor$

$\lfloor(n/2)\rfloor$$\lceil(n/2)\rceil$