두 개의 2x2 행렬의 행렬 곱셈을 7 번의 곱셈으로 수행 할 수 없음을 증명하는 방법은 무엇입니까?

Strassen의 행렬 곱셈에서 우리는 두 개의 2 x 2의 행렬 곱셈에 7 곱셈이 필요하다는 이상한 (적어도 나에게) 사실을 언급합니다.

질문 : 6 곱셈에서 2 x 2 행렬을 곱할 수 없다는 것을 어떻게 증명합니까?

행렬은 정수를 초과합니다.

algorithms complexity-theory lower-bounds

— 복잡성
소스

더 빠른 다른 행렬 곱셈 알고리즘이 있습니다. Stanford CME 323 클래스의이 웹 기사는 Strassen의 알고리즘, Matrix multiplication : Strassen ' s algorithm에 대한 세부 사항을 제공 합니다 . Wikipedia 주제 인 Strassen 알고리즘 이 있으며 자세한 내용과 추가 정보 링크가 있습니다.

— Richard Chambers

@RichardChambers Strassen의 알고리즘에는

곱셈이 있습니다. 이 하한이 사실이라는 것이 그럴듯 해 보입니다.

7

$7$

— Stella Biderman

말했듯 이이 질문은 잘못되었습니다.

곱셈 으로 곱할 수있는 행렬이 많이 있습니다 . 최악의 경우 7이 필요하다는 증거를 요구하는 것을 의미합니다. 7을 요구하는 행렬이 있습니다.

6

$6$

— Stella Biderman

@StellaBiderman 예 Strassen 's에 7 곱셈이 있음을 알았습니다. 복잡성이 낮은 다른 빠르고 빠른 알고리즘은 보지 않았습니다. 내가 알 수 있듯이 Strassen과 동일한 하위 매트릭스 접근 방식을 사용하지만 확실하지 않습니다. Strassen에 대한 추가 정보를 추가했습니다.

— Richard Chambers

귀하의 질문에 빠진 것이 있습니다. 적어도 일부 행렬에 0 곱셈을 곱할 수있는 알고리즘을 쉽게 제공 할 수 있습니다. 언급하지 않은 제약이있을 수 있습니다.

— Jörg W Mittag

이것은 Winograd의 전형적인 결과입니다 . 2x2 행렬의 곱셈 .

$n\times n$ $O(n^\alpha)$ $\langle n,n,n \rangle$ $n\times n$ $O(n^\alpha)$ $O(n^{\log_27})$ $R(\langle 2,2,2 \rangle) \leq 7$

$R(\langle 2,2,2 \rangle)=7$ $\langle 2,2,2 \rangle$

— 유발 필름 러스
소스

결과는 다음에서 찾을 수 있습니다.

S.Winograd, 2 × 2 행렬의 곱셈 , 선형 대수 및 Appl. 4 (1971), 381-388, MR0297115 (45 : 6173).

— 스텔라 비더 맨
소스