그래프에 사소한자가 형성이 있는지 여부를 결정하는 효율적인 알고리즘이 있습니까?

라틴 사각형과 관련된 문제를 연구 중이며 의사 결정 문제로 본질적으로 요약되는 방법을 원합니다.

입력 : 유한하고 간단한 그래프 G.
출력 : YESG에 사소한 자동 변형이있는 경우 NO그렇지 않은 경우.

그 후...

질문 : 그래프에 사소한자가 형성이 있는지 여부를 결정하는 효율적인 알고리즘이 있습니까?

우리는 Nauty 또는 Bliss (및 다른 패키지)를 사용하여 전체 다형성 그룹을 계산할 수 있지만 필요하지는 않습니다. 내가 결정해야 할 것은 사소한 것인지 아닌지입니다.

이 결정 문제가 어떤 식 으로든 "전체 이형성 그룹을 계산"하는 것은 이론적으로 복잡 할 가능성이있다. 잘 모르겠습니다.

저의 목적 상, "효율적인"은 기본적으로 "전체 이형성 그룹을 계산하는 것보다 실제로 더 빠름"을 의미하지만, 그 배후의 이론에도 관심이 있습니다.

— 레베카 제이 스톤즈
소스

이것은 그래프 동형에 해당합니다.

— 유발 Filmus

@YuvalFilmus 내가 아는 한 "IsvalFilmus

G_{1}

$G_1$ 동형

G_{2}

$G_2$ "~"

G

$G$ 사소하지 않은자가 형성이 있습니다. "

G_{1} ≃ G_{2}

$G_1\simeq G_2$ 그들의 분리 된 연합은 사소하지 않은자가 형성을가집니다 (스왑

G_{1}

$G_1$ 과

G_{2}

$G_2$ ) 그러나 사소한자가 변형

G_{1}

$G_1$ 또한 사소한자가 변형이 될 것입니다.

G_{1} + G_{2}

$G_1+G_2$ .

— David Richerby

마지막 질문과 관련하여, GA에 오라클을 제공하면 다항식 시간에 automorphism 그룹의 생성 세트를 찾을 수 있으며 GI는 GA로 튜링 할 수 있습니다. 확실하지 않습니다.

— Ariel

@DavidRicherby 다음 논문은 어떻습니까? sciencedirect.com/science/article/pii/…

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus 좋아요, Turing 감소를 사용하고 있으며 많은 감소를 사용하고 있습니다. 튜링 감소는 실제로 문제를 해결하려는 사람과 더 관련이 있다고 생각합니다.

— David Richerby

당신은 또한 그 뒤에있는 이론에 관심이 있기 때문에 문제에 대한 준 다항식 시간 알고리즘을 제공 할 것입니다.

각 정점 쌍에 대해 $u\neq v$ (동일한 정도) $G$ 교환 이 가능한지 확인하려고합니다. $u$ 과 $v$ .

이렇게하려면 사본을 만드십시오. $G$ , 불러라 $G'$ . 이제 삭제 $u$ ...에서 $G$ , 삭제 (사본) $v$ ...에서 $G'$ .

그런 다음 각 $w\in N(u)$ 그것에 매우 긴 경로를 연결하지만 polynomially long 만 첨부하십시오 .

그런 다음 각 (사본) $w\in N(copy\ of\ v)$ 그것에 매우 긴 경로를 연결하지만 polynomially long 만 첨부하십시오 .

위에서 언급 한 모든 경로는 길지만 , polynomially long 은 길이가 같아야합니다.

새로 생성 된이 그래프 쌍의 입력에 대해 Babai의 알고리즘을 호출하십시오.

어떤 쌍의 경우 $(u, v)$ 우리는 $YES$ Babai의 답변 $YES$ 그리고 멈 춥니 다.

아무것도 반환하지 않으면 $YES$ 답변, 답변 $NO$ 그리고 멈 춥니 다.

분명히 모든 정점에 $N(u)$ 과 $N(v)$ Babai의 알고리즘 내부 작동 메커니즘의 그래프 동형을 강제로 정점 만 매핑합니다. $N(u)$ 에 $N(v)$ . 따라서 Babai의 대답이 $YES$ 안전하게 다시 연결할 수 있습니다 $u$ 과 $v$ 사소한자가 형성을 갖는 것 $G$ , 이후 $G'$ ~의 사본이다 $G$ .

런타임 복잡성은 여전히 준 폴리입니다.

— Thinh D. Nguyen
소스