나는 항상 긴 줄로 줄어드는 많은 알고리즘 문제를 봅니다.

당신은이 정수 배열을$h[1..n]\geq 0$, 당신은 찾아야합니다 $i,j$ 그런 최대화 $(h[j]-h[i])(j-i)$ 에 $O(n)$ 시각.

분명히 $O(n^2)$ 시간 솔루션은 모든 쌍을 고려하는 것이지만 식을 최대화 할 수있는 방법이 있습니까? $O(n)$ 의 속성에 대해 다른 것을 몰라도 $h$?

내가 생각한 한 가지 아이디어는 해결하는 것입니다. $j$다음을 찾아야합니다 $i^*$ ...에서 $1$ 에 $j-1$ 그건 같다 $\text{argmax}_i\{(h[j]-h[i])(j-i)\}$ 또는 $\text{argmax}_i\{h[j]j-h[j]i-h[i]j+h[i]i\}$ 이후 $j$ 고정되면 우리는 필요합니다 $\text{argmax}_i\{-h[j]i-jh[i]+ih[i]\}$.

그러나, 나는 제거 할 방법이 없다 $j$내부의 종속 용어. 어떤 도움?

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이것은 $O(n\log n)$해결책. 안$O(n)$Willard Zhan 이 지적한 솔루션 은이 답변의 마지막에 추가됩니다.

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$O(n\log n)$ 해결책

확신을 위해 $f(i,j)=(h[j]-h[i])(j-i)$.

밝히다 $l_1=1$, $l_i$ 가장 작은 지수가되도록 $l_i>l_{i-1}$ 과 $h[l_i]<h[l_{i-1}]$. 마찬가지로, 정의$r_1=n$, $r_i$ 가장 큰 지수가 $r_i<r_{i-1}$ 과 $h[r_i]>h[r_{i-1}]$. 시퀀스$l_1,l_2,...$ 과 $r_1,r_2,\ldots$ 계산하기 쉽다 $O(n)$ 시각.

없는 경우 $i<j$ 그런 $h[i]< h[j]$ (즉 $f(i,j)>0$)는 사소합니다. 우리는 이제 사소한 경우에 중점을 둡니다. 이러한 경우 솔루션을 찾으려면 해당 쌍만 고려하면됩니다.

각각 $i<j$ 그런 $h[i]<h[j]$, 허락하다 $u$ 가장 큰 지수가 $l_u\le i$, $v$ 가장 작은 지수가되도록 $r_v\ge j$그런 다음 $h[l_u]\le h[i]$ (그렇지 않으면 $l_{u+1}\le i$ 의 정의에 의해 $l_{u+1}$따라서 다음의 정의와 모순된다 $u$) 및 유사하게 $h[r_v]\ge h[j]$. 그 후

$$(h[r_v]-h[l_u])(r_v-l_u)\ge(h[j]-h[i])(r_v-l_u)\ge(h[j]-h[i])(j-i).$$ 이것은 우리가 쌍만 고려하면된다는 것을 의미합니다 $(l_u,r_v)$ 어디 $l_u<r_v$.

표시 $v(u)=\arg\max_{v:\ l_u<r_v}f(l_u,r_v)$우리는 다음과 같이 정리했다.

쌍 여기서 , 및 존재 위치를 같은 그런 및 또는되도록 및 최종 최적의 해결책이 될 수 없다.$(l_u,r_v)$$l_u<r_v$$u_0$$u<u_0$$v<v(u_0)$$u>u_0$$v>v(u_0)$

증명. 의 정의에 따라, 우리가 또는 $v(u_0)$

$$(h[r_{v(u_0)}]-h[l_{u_0}])(r_{v(u_0)}-l_{u_0}) \ge (h[r_v]-h[l_{u_0}])(r_v-l_{u_0}),$$ $$(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_{u_0}+h[l_{u_0}](r_v-r_{v(u_0)})+h[r_{v(u_0)}]r_{v(u_0)}-h[r_v]r_{v(u_0)} \ge 0.$$

경우 여기서 및 , 참고 및 , 또한 및 , $u<u_0$$v<v(u_0)$$h[r_v]-h[r_{v(u_0)}]<0$$r_v-r_{v(u_0)}>0$$l_u<l_{u_0}$$h[l_u]>h[l_{u_0}]$

$$\begin{align*} &(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_u+h[l_u](r_v-r_{v(u_0)})\\ >\ &(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_{u_0}+h[l_{u_0}](r_v-r_{v(u_0)}). \end{align*}$$

이것은 또는

$$(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_u+h[l_u](r_v-r_{v(u_0)})+h[r_{v(u_0)}]r_{v(u_0)}-h[r_v]r_{v(u_0)} > 0,$$ $$(h[r_{v(u_0)}]-h[l_u])(r_{v(u_0)}-l_u) > (h[r_v]-h[l_u])(r_v-l_u).$$

따라서 은 보다 훨씬 나은 솔루션 입니다. 다른 경우에 대한 증거는 비슷합니다. $(l_u,r_{v(u_0)})$$(l_u,r_v)$$\blacksquare$

먼저 계산할 수 있습니다. 여기서 은 시퀀스 의 길이이며, 대한 중 최적 솔루션 을 재귀 적으로 계산합니다 및 및 대한 중 최적 솔루션 및 . 기본 정리로 인해 글로벌 최적 솔루션은 합니다.$v(\ell/2)$$\ell$$l_1,l_2,\ldots$$o_1$$(l_u,r_v)$$u=1,\ldots,\ell/2-1$$v=v(\ell/2),v(\ell/2)+1,\ldots$$o_2$$(l_u,r_v)$$u=\ell/2+1,\ell/2+2,\ldots$$v=1,\dots,v(\ell/2)$$\{(l_{\ell/2},r_{v(\ell/2)}),o_1,o_2\}$

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$O(n)$ 솔루션

하자 경우 . 증명은 또한 및 의 경우 이면 . 이것은 행렬 이 완전 모노톤 행렬 임을 의미합니다. 여기서 는 시퀀스 의 길이입니다 (그래서 은 끝에서 번째 요소를 의미합니다. ) 그런 다음 SMAWK 알고리즘 을 적용하여 최소값 을 찾아 최대 값 를 찾을 수 있습니다 .$f(l_u,r_v)=-\infty$$l_u\ge r_v$$u>u_0$$v>v_0$$f(l_{u_0},r_{v_0})\ge f(l_{u_0},r_v)$$f(l_u,r_{v_0})>f(l_u,r_v)$$M[x,y]:=-f(l_x,r_{c-y+1})$$c$$r_1,r_2,\ldots$$r_{c-y+1}$$y$$M$$f$