건 전함이 일관성을 의미하는 이유는 무엇입니까?

일관성과 완전성이 건전성을 암시 하는 질문을 읽고 있었습니까? 그리고 첫 번째 진술은 다음과 같습니다.

건 전함은 일관성을 의미한다는 것을 이해합니다.

나는 건전성이 일관성보다 약한 진술이라고 생각했기 때문에 매우 당황했습니다 (즉, 일관된 시스템은 건전해야한다고 생각했지만 사실은 아닌 것 같습니다). 나는 Scott Aaronson이 일관성과 건전성을 위해 MIT의 6.045 / 18.400 과정에서 사용하고있는 비공식적 인 정의를 사용하고 있었습니다 .

1. 건전성 = 증명하는 모든 진술이 실제로 참이면 증명 시스템은 건전합니다 (증명 가능한 모든 것이 참임). 즉, IF ( $\phi$ 는 가능하다)$\implies$( $\phi$ 는 참). 따라서 IF (수식 경로가 있음) THEN (수식이 참)
2. 일관성 = 일관된 시스템은 결코 A와 NOT (A)을 증명하지 않습니다. 따라서 오직 하나의 A 또는 그 부정 만이 참이 될 수 있습니다.

이러한 (아마도 비공식적 인) 정의를 염두에두고 다음 예제를 구성하여 사운드는 있지만 일관성이없는 시스템이 있음을 보여줍니다.

그것이 사운드 시스템이었다고 생각한 이유는 공리가 사실이라는 가정하에 있기 때문입니다. 따라서 A가 아니라 A는 모두 사실입니다 (예, 제외 된 중간 법칙이 포함되어 있지 않음을 알고 있습니다). 유일한 추론 규칙은 부정이기 때문에 공리에서 A가 아닌 A에 도달하고 서로 도달 할 수 있습니다. 따라서 우리는이 시스템과 관련하여 진실한 진술에만 도달합니다. 그러나 물론 시스템에서 유일한 진술의 부정을 증명할 수 있기 때문에 시스템은 일관성이 없습니다. 따라서 사운드 시스템이 일치하지 않을 수 있음을 증명했습니다. 이 예가 왜 올바르지 않습니까? 내가 뭘 잘못 했어?

내 머리 속에는 직관적 인 의미가 있습니다. 왜냐하면 우리가 일단 시작하여 추론 규칙을 깨고 결정하면 사실 인 목적지 (예 : 진술)에서만 도달한다고 말하기 때문입니다. 그러나 우리가 어느 목적지에 도착했는지 실제로 말하지는 않습니다. 그러나 일관성은 또는 도달 한 목적지에만 도달 할 수 있다고 말합니다 (둘다는 아님). 따라서 모든 일관된 시스템에는 배제 된 중간의 법칙이 공리로 포함되어야합니다. 물론, 나는 유일한 공리의 부정을 유일한 공리로 부정하지 않았습니다. 그래서 내가 너무 영리한 것을 느끼지 않았지만 어떻게 든 문제가 있습니까?¬ $A$$\neg A$

Scott의 비공식적 정의를 사용하고 있기 때문에 문제가 될 수 있음을 알고 있습니다. 질문을 쓰기 전에도 위키 백과를 확인 했지만 그 정의는 나에게 적합하지 않습니다. 특히 그들이 말하는 부분 :

시스템의 의미와 관련하여

그들의 완전한 인용문은 :

시스템에서 증명 될 수있는 모든 공식은 시스템의 의미와 관련하여 논리적으로 유효합니다.

모호하고 손으로 설명하는 것 이상의 공식적인 논리를 살펴 보는 것이 좋습니다. 흥미롭고 컴퓨터 과학과 관련이 있습니다. 불행히도, 공식적인 논리에 관한 교과서의 용어와 좁은 초점은 논리가 무엇인지에 대한 뒤틀린 그림을 제시 할 수 있습니다. 문제는 대부분 수학자들이 "논리"에 대해 이야기 할 때 고전적 명제 논리 또는 고전적인 1 차 논리를 의미한다는 것입니다. 이것들은 매우 중요한 논리 시스템이지만, 논리의 폭에 가깝습니다. 어쨌든, 내가 말할 것은 그 좁은 맥락에서 주로 일어나지 만, 그것이 특정한 맥락에서 일어나고 있으며 그것이 외부에서 사실 일 필요는 없음을 분명히하고 싶습니다.

먼저 일관성이 와 모두를 입증하지 않는 것으로 정의 되면 논리에 부정이 없거나 경우 어떻게됩니까¬ A $A$$\neg A$$\neg$다른 의미가 있습니까? 분명히, 이러한 일관성 개념은 그것이 작동하는 논리적 상황에 대한 몇 가지 가정을합니다. 일반적으로 이는 고전적인 명제 논리 또는 고전적인 1 차 논리와 같은 일부 확장 논리로 작업하고 있다는 것입니다. 고전적인 명제 / 일차 논리라고 할 수있는 공리 및 규칙 목록과 같은 여러 가지 프레젠테이션이 있지만 실제로는 중요하지 않습니다. 그것들은 어떤 적절한 의미에서 동등합니다. 일반적으로 논리 시스템에 대해 이야기 할 때 우리는 (고전적인) 1 차 이론을 의미합니다. 여기에는 주어진 함수 기호, 술어 기호 및 공리 (논리적 공리라고 함)를 추가하는 클래식 1 차 논리의 규칙 및 (논리적) 공리로 시작합니다. 이 1 차 이론은 보통 우리가하는 것입니다.

다음으로, 건전성은 일반적으로 의미론에 대한 건전성을 의미합니다. 일관성은 우리가 할 수있는 공식적인 증거와 관련된 구문 적 속성입니다. 건전성은 수식, 함수 기호 및 술어 기호를 수학 객체 및 명령문으로 해석하는 방법과 관련이있는 의미 특성입니다. 건전성에 대해 말하기 시작하려면 의미론, 즉 위에서 언급 한 것들에 대한 해석을 제공해야합니다. 다시, 논리 연결과 논리 공리와 함수 기호, 술어 기호 및 비논리 공리가 분리됩니다. 의미 결합 관점에서 결합 및 논리 공리 논리 공리를 만드는 것은 함수 기호, 술어 기호 및 비논리 공리가 의미 체계에서 특수하게 처리된다는 것입니다.$[\![\varphi\land\psi]\!]=[\![\varphi]\!]\cap[\![\psi]\!]$ 내가 사용하는 수식 의 해석으로 . 특히 여기서 는 도메인 세트입니다. 아이디어는 수식이 수식을 만족하는 도메인 요소 집합으로 해석되는 아이디어입니다. 닫힌 수식 (예 : 자유 변수가없는 수식)은 단일 톤 집합 또는 빈 집합 만 될 수있는 단일 집합의 하위 집합을 의미하는 null 관계로 해석됩니다. 빈 집합으로 해석되지 않으면 닫힌 수식은 "true"입니다. 그런 다음 건전성은 모든 가능한 (닫힌) 공식이 위의 의미에서 "참"이라는 진술입니다.φ $[\![\varphi]\!]$$\varphi$$[\![\neg\varphi]\!]=D\setminus[\![\varphi]\!]$$D$

여기에서 내가 제공 한 스케치 에서조차 건 전함이 일관성을 의미 함을 증명하는 것이 쉽다 (클래식 1 차 논리와 내가 스케치 한 의미론의 맥락에서). 논리가 소리가 나면 모든 입증 가능한 수식은 비어 있지 않은 집합으로 해석되지만 는 수식 가 무엇이든 항상 빈 세트로 해석 되므로 증명할 수 없습니다. 즉, 논리가 일관됩니다.

견고성과 일관성은 연역 시스템의 속성입니다. 건전성은 연역 시스템과 독립적으로 주어진 것으로 가정되는 일부 의미론에 대해서만 정의 될 수 있습니다.

시맨틱 영역에서 두 속성은 서로 관련되어 있습니다.

정의 1 ( Soundness [Semantics]-Wikipedia에서 빌린 ) 연역 시스템의 건전성은 그 연역 시스템에서 입증 될 수있는 모든 문장이 그 이론이 사용되는 언어에 대한 의미 론적 이론의 모든 해석 또는 구조에서도 사실이라는 속성입니다. 기반입니다.

정의 2 ( 일관성 [의미론] ) 문장의 집합 언어 일치하는 경우 상기 언어 구조가 존재하는 경우에만 있는 모든 문장을 만족하는 . 연역 시스템은 모든 공식을 만족시키는 구조가 존재하는 경우 일관성이 있습니다.L L$A$$\mathfrak{L}$$\mathfrak{L}$$A$

위에 주어진 두 가지 정의를 통해 건전성이 일관성을 의미한다는 것이 분명합니다. 즉, 모든 입증 가능한 문장의 집합이 언어의 모든 구조를 가지고 있다면, 그것들을 만족시키는 적어도 하나의 구조가 존재합니다.

증명 시스템이 있기 때문에, 소리도 일관성도 아닌 진정한 제안하지 않는 경우에, 진정한 제안이 아니다. 이 주장은 모든 방음 시스템도 일관성이 있음을 보여줍니다.A ≡ ⊤ ¬ A ≡ $A$$A \equiv \top$$\lnot A \equiv \bot$

종종 논리 시스템을 생각 해낼 때, 기존의 현상을 설명하려는 시도에 동기를 부여합니다. 예를 들어, Peano 산술은 덧셈과 곱셈 연산과 함께 자연수를 공리 화하려는 시도입니다.

건전성은 설명하려는 현상과 관련하여 만 정의 할 수 있으며 기본적으로 공리와 추론 규칙이 실제로 문제를 설명 함을 의미합니다. 예를 들어, Peano 산술은 그 공리와 추론 규칙이 실제로 자연수에 해당하기 때문에 건전합니다.

물론 이것은 당신이 Peano의 그것들의 정의를 넘어서 "자연수"의 개념을 가지고 있음을 암시하며, 어떤 특정한 일련의 공리로부터 이러한 진리를 도출하지 않고 자연수에 대한 참 또는 거짓에 대한 개념을 가지고 있음을 의미합니다. 그러한 진실이 어디에서 왔는지 또는 어떻게 검증 될 수 있는지 설명하려고하면 철학적 인 뜨거운 물에 빠질 수 있습니다. 그러나 자연수가 있다고 가정하고 그 사실에 대한 사실이 몇 가지 있다면 axiomatization 프로젝트를 간결한 공식 사양을 생각해내는 것으로 볼 수 있습니다. 진실이 도출 될 수 있습니다. 실제로 입증 할 수있는 모든 것이 사전에 지정된 진리, 즉,

(특히 공식적인 사양은 자연수에 대해 진실 인 모든 것을 증명하지는 않으며 , 또한 자연수와 는 다른 구조가 있다는 점에서 자연수를 고유하게 설명 하지는 않습니다. Peano의 공리가 또한 사실입니다.)

1 차 논리에서, 이론은 모델이 전혀 없다면 일관성이 있습니다. 건전성은 원하는 특정 모델이 있음을 의미합니다. 이론으로 설명하려는 특정 구조는 실제로 이론의 모델입니다. 이러한 관점에서 건전성이 일관성을 의미하는 이유가 분명합니다.

일관되지만 건전하지 않은 이론의 예 : PA, Peano 산술, 산술 구성으로 논리 수식을 인코딩 할 수 있으며, 특히 "PA는 일관성이 있습니다"라는 문장을 인코딩 할 수 있습니다 ( " PA의 공리 "). 이 문장을 Con (PA)이라고 부릅니다. PA는 Gödel의 첫 번째 불완전 정리에 의해 Con (PA)를 증명할 수 없다는 것을 알고있을 수도 있습니다. 이것은 또한 이론 PA +$\neg$Con (PA)는 모순을 입증 할 수 없으므로 일관성이 있어야합니다. 그러나 그것은 소리가 나지 않습니다 : 그것은 PA의 공리에서 허위 증거를 인코딩하는 자연수가 있다고 주장하지만, 그렇지 않으면 우리는 추출 할 수 있기 때문에 "실제"자연수에는 그러한 숫자가있을 수 없습니다 PA의 불일치에 대한 진정한 증거.

PA + Con (PA)에는 모델이 있지만 문제의 "증거"를 인코딩한다고 주장하는 것을 포함하여 "비표준 자연 숫자"와 같은 "추가"개체를 포함해야하는 모델입니다. 이론에는 이러한 비표준 요소를 의 진정한 선의의 구성원과 구별 하거나 증거가 정당한 증거가 아님을 입증하는 데 필요한 도구 가 없습니다.$\neg$$\mathbb N$

대신 PA + Con (PA)는 완벽하게 합법적 인 논리 시스템입니다. 자연수를 정확하게 설명하지 않고 자연수는 모델이 아닙니다.$\neg$

한 가지 더 : 공리가 정의에 따라 사실이라고 가정 하지 않습니다 . 모든 공리는 정의상 기본 증거 블록 일뿐입니다. 그것들은 단지 주장 일뿐입니다. 특정 수학 물체에 적용될 때만 참 또는 거짓입니다. 시스템은 반드시 그리고 즉시 소리가 나지 않기 때문에 잘못된 공리를 가질 수 있습니다.

하게하려면 간결 스콧 애런 슨이 자신의 6.045 / 18.400 MIT 강의에서 말 (직관적) 내가 의역 할 대답을. 그는 이렇게 말했습니다.

건전성은 가능한 모든 것이 사실임을 의미합니다. 일관성은 모순과 건전성이 이미 포함되어 있음을 의미하고 진리의 개념은 일관성이 있어야하고 진리는 일관성이 있어야합니다 (즉, True! = False). 따라서 사운드 시스템도 일관성이 있어야합니다. 따라서 건전성은 진실이 모순되지 않기 때문에 일관성을 의미합니다.

이제 나는 잘못된 가정 / 아이디어가 있음을 깨달았습니다.

1. 나는 건전성이 의미론에 관한 것이라는 것을 몰랐다. 따라서 공리에서 유추 규칙을 사용하는 것만으로는 진정한 결과를 도출하기에 충분하지 않다는 것을 인식하지 못했습니다. 유효한 유추 규칙 사용).
2. 공리가 사실이고 추론 규칙이 이해되는 한 진행된 모든 것이 사실이라고 생각했습니다. 우리가 방대한 공리 목록을 가지고 있고 추론 규칙이 뒤 따르는 모든 것이 사실이라면 추론하기가 어려우므로 지금은 사실이 아님을 깨달았습니다. 즉, 공리에서 시작하여 유효한 추론 규칙을 사용하는 것만으로는 다음 단계가 사실임을 보장 할 수 없습니다.
3. 이전은 본질적으로 두 가지 수준의 복잡성, 1) 의미론 2) 구문이 있다는 것을 깨닫지 못했다는 사실과 관련이 있습니다. 기호 크 런칭 게임을 크랭크하면 모순이 발생할 수 있습니다.
4. 나는 올바른 진리의 특성화를 모른다는 것을 몰랐다. 데릭은 특성화에 큰 역할을했다.