배제 된 중간 법칙없이 모순에 의해 증명할 수 있습니까?

나는 최근에 모순에 의한 증거의 타당성을 생각하고있었습니다. 나는 지난 며칠 동안 직관 논리와 Godel의 이론에 관한 것들을 읽어 내 질문에 대한 답을 줄 수 있는지 읽었습니다. 지금은 여전히 ​​궁금한 점이 있으며 (아마도 내가 읽은 새로운 자료와 관련이있을 것입니다.)

( 경고 : 당신은 논리에서 매우 혼란스러운 기초를 가진 내용을 읽고, 소금 알갱이로 모든 것을 가져 가려고합니다. 그 질문에 대한 답이 아니라고 생각하면 많은 오해가 있습니다.)

내 주된 질문은 일단 A가 모순을 초래하지 않는다는 것을 보여 주었으므로 A가 거짓이 아니어야한다는 것입니다. 우리는 가서 A가 참이어야한다고 결론 내립니다. 그 부분의 종류는 의미가 있습니다 (특히 제외 된 중간의 법칙을 의미있는 것으로 받아들이는 경우). 그러나 나를 괴롭히는 것은 모순에 의한 증거가 실제로 어떻게 발생하는지입니다. 먼저 우리는 A가 아닌 것으로 시작한 다음 공리와 추론 규칙을 (기계적으로) 적용하고 그것이 우리를 어디로 향하는 지 봅니다. 일반적으로 모순에 도달합니다 (예 : A는 true 또는 및 는 true). 우리는 A가 거짓이 아니어야한다고 결론을 내린다. 따라서 A는 참이다. 괜찮아. 그러나 제 질문은 공식 시스템이 어떤 종류의 보증을 가지고 있는지입니다.$\neg \varphi$$\phi$동일한 프로세스를 적용했지만 A로 시작하여 모순되지 않습니까? 나는 모순에 의해 증거에 숨겨진 숨겨진 가정이 있다고 생각한다 . A에서 동일한 과정이 모순에 도달하지 않는다면 어떤 종류의 보증이 일어나지 않을 것이라고 생각 하는가? 불가능한 증거가 있습니까? 다시 말해, 내가 영원히 돌린 터닝 머신 (TM) (또는 슈퍼 TM)을 가지고 있다면, 가정 된 사실 진술 에서 시작하여 모든 공리에서 모든 논리적 단계를 시도했지만 모순을 발견하여 중단되지 않는다는 보장은 무엇입니까? ?$A$

그런 다음 Godel의 불완전 성 정리와 관련하여 과거의 질문과 관련이 있습니다.

산술을 표현하는 공식 시스템 F는 자체 일관성을 증명할 수 없습니다 (F 내).

이것은 기본적으로 그것이 사실이라면 일관성, 즉 A가 아닌 A가 발생하지 않도록 보장하는 것이 불가능하다는 것을 분명히했습니다. 따라서 모순에 의한 증거는 일관성이 어떻게 든 보장된다는 것을 암시 적으로 가정하는 것처럼 보였습니다 (그렇지 않으면 왜 일관성을 알지 못한다면 A가 불가능하다는 것을 증명함으로써 A가 참이라고 결론 내릴 것입니다) A)가 아닌 A 문장에 대해 모순이 있는가? 이것이 잘못되었거나 뭔가 빠졌습니까?

그런 다음 ok는 우리의 공리에 제외 된 중간의 규칙을 포함 시키면 모든 문제가 해결된다고 생각했습니다. 그러나 나는 우리가 문제를 처리하는 대신 문제를 정의하고 있음을 깨달았습니다. 정의에 따라 시스템을 일관성있게 유지해야한다고해서 반드시 실제로 일관성이있는 것은 아닙니다. 나는 단지 이러한 아이디어를 이해하려고 노력하고 있으며 무엇을해야할지 확실하지 않지만, 며칠 동안 내용을 읽고이 개념의 거의 모든 측면에서 비디오를보고, 모순, 독점적 인 중간, 직관 론, 고델의 완전성과 불완전 성 정리…

이와 관련하여 배제 된 중간 (또는 모순)의 규칙 없이는 어떤 것이 잘못되었음을 실제로 직접 입증하는 것이 본질적으로 불가능한 것 같습니다. 증거 시스템은 진실한 진술을 입증하는 데 능숙하지만 내 이해로는 사물이 거짓임을 직접 보여줄 수 없습니다. 아마도 그들이하는 방식은 모순 (무언가가 잘못되었거나 나쁜 일이 발생해야 함을 나타냄) 또는 중간 (한 A의 진실 가치를 아는 것이 A가 우리에게 다른 것을 진실로 제공하는 경우)을 배제하는 것보다 간접적이거나 반대의 예를 제공함 (기본적으로 반대가 사실이므로 간접적으로 제외 된 중간의 법칙을 사용함) 아마도 뭔가 잘못되었다는 건설적인 증거를 원할 것입니다.

만약 내가 A가 거짓이 아니라고 증명한다면 (즉, 모순을 받아 들인다), 그것이 실제로 괜찮다는 것을 알 수 있다면 나는 모든 추론 규칙과 공리를 A에 무한히 적용 할 필요가 없으며 A 원이 보장된다고 확신한다 모순에 도달하지 마십시오. 그것이 사실이라면, 나는 모순에 의한 증거를 더 쉽게 받아 들일 수 있다고 생각합니다. 이것이 사실입니까 아니면 Godel의 두 번째 불완전 성이 내가 이것을 가질 수 없다는 것을 보장합니까? 내가 이것을 가질 수 없다면, 수년간의 수학자들이 어떻게 우리가 불일치를 발견하지 못한 수학을 할 수 있을까? 일관성에 대한 경험적 증거에 의존해야합니까? 또는 예를 들어, 교수 F는 superF가 F를 증명 함을 보여줌으로써 일관성이 있지만 실제로는 superF와 F 만 필요하지 않기 때문에 실제로 작동하는 콘텐츠가 될 수 없습니까?

방금 내 불만이 일반 증거로 일반화되는 것을 알았습니다. 좋아, 내가 A의 직접적인 증거를했다면 나는 A가 사실이라는 것을 알고있다. 같은 질문이 약간 다르게 강조된 것 같습니다 ....

당신은 (나는 귀하의 질문에 조금 선명하게하고) 질문 : "어떤 공식을 보장하는 것은 그것이 일어날 수없는 존재를 그 두 와 모순으로 이어질?" 논리가 일치하지 않으면 모순에 의한 증거가 문제가된다고 걱정하는 것 같습니다. 그러나 이것은 사실이 아닙니다.$\lnot p$$p$

논리가 일관성이 없다면, 모순에 의한 증거는 여전히 타당한 추론 규칙이지만, 그 부정도 마찬가지입니다. 그리고 우리는 당신이 다음 교황이라고 결론 지을 수 있습니다. 논리의 불일치로 인해 아무것도 무효화되지는 않습니다. 그 반대의 경우에는 모든 것을 검증합니다 !$1 + 1 = 2$

혼동의 또 다른 원인이있을 수 있습니다. 질문의 제목은 제외 된 중간의 법칙에 따라 논리가 일관성이 있음을 암시하는 것으로 읽을 수 있습니다. 맞지 않습니다. 논리의 일관성은“성명서와 그 부정 모두에 증거가있는 경우가 아니다”이며, 가운데 제외는 형식의 성명을 증명할 수있는 규칙입니다 .$p \lor \lnot p$

보충 : 이 질문이 왜 그렇게 많은 논의를 일으키는 지 이해가되지 않습니다. 나는 딜레마가 실제로 무엇인지 이해하는 데 어려움을 겪고 있으며, 내가 알 수있는 한, 그 질문은 일종의 오해에서 비롯됩니다. 누군가가 그 질문을 해명 할 수 있다면 나는 감사 할 것이다. 또한 다음 사항에주의를 기울이고 싶습니다.

1. 모순과 배제 된 중간에 의한 증거는 서로 동일하므로 서면으로 작성된 제목은 의미가 없습니다. 물론 우리는 다른 하나 없이는 가질 수 없습니다.

2. 질문에 대한 긴 토론에서 내가 이해할 수있는 것에서 OP는 논리의 불일치가 증거를 무효화한다고 말하거나 걱정하는 것 같습니다. 위에서 지적했듯이 이것은 거짓입니다. OP의 어떤 종류의 반응에 감사하겠습니다. OP는 논리의 불일치 (즉, 모든 것을 증명할 수 있음)가 증거를 무효화하지 않는 방법을 볼 수 있습니까?

3. 나는 OP가 배제 된 중간 법칙에 와 ¬ p 둘 다 (수식 : ¬ ( p ∧ ¬ p ) 를 보유 하는 것이 불가능하다고 말한다고 생각할 수도있다 . 이것은 중간 제외되지 않습니다. 때로는 비 모순의 법칙이라고 불리며 증명할 수 있습니다 (중간 제외 제외).$p$$\lnot p$$\lnot (p \land \lnot p)$

4. OP는 "중간을 배제하지 않고 어떤 것이 잘못되었음을 직접 증명하는 것은 불가능하다"고 생각한다. 그는 모순에 의해 부정과 증거의 증거를 혼란 같은 것이 아니다 . 링크 된 게시물에는 잘못된 것이 있다는 건설적인 증거가 많이 있습니다. 실제로, 교과서에서 발견 된 것이 잘못된 것이라는 대부분의 증거는 이미 건설적인 것입니다.

5. 고델의 불완전 성은 내가 분별할 수있는 이유로 끌려 들어옵니다. 괴델의 불완전 문장의 제공 도 그런 G 도 ¬ G가 증명입니다. 이 하지 않는 것을 의미 G ∨ ¬ G는 (제외 중간의 간단한 응용 프로그램에 의해 그것이) 증명 될 것입니다! ¬ G ∧ ¬ ¬ G가 보유하고 있음을 의미하지도 않습니다 . 그렇다면 괴델의 불완전 성은 어떻게 관련이 있습니까?$G$$G$$\lnot G$$G \lor \lnot G$$\lnot G \land \lnot\lnot G$

추신 : 나는 무례했던 이전 버전의 보충에 대해 사과드립니다.

귀하의 질문은 "어떤 종류의 공식적인 논리로 공식적인 검증을 수행 할 때 그 논리가 일관성이 있다는 어떤 보증이 있습니까?"로 귀결됩니다. 대답은 '없음'입니다. 그것은 당신이 가정해야 할 것입니다. 공식 검증은 모든 가정을 제거하지는 않습니다. 그것은 당신이 가정하고있는 것에 대해 더 명확하게하는 데 도움이되며, 합리적으로 보이는 가정에서 시작하도록 도와줍니다.

표준 논리 내에서 작업하는 경우 일반적으로 대부분의 사람들은 그 사실에 대한 증거가 없더라도 논리가 일관성이 있다고 가정합니다. 우리는 언젠가 논리가 실제로 일치하지 않는다는 것을 발견 할 수도 있지만 대부분의 사람들은 이것이 그럴 가능성이 낮다고 생각합니다.

어떤 경우에는 논리가 일관성이 있음을 증명할 수 있지만 두 번째 논리가 일관성이 있다고 가정 해야하는 다른 강력한 논리를 사용해야하므로 일부 논리를 가정해야합니다 ( 일부 논리가 일관성이 있다고 가정) ). 이것은 두 번째 논리가 일관성이 있다고 생각한다면 첫 번째 논리가 일관성이 있다는 증거로 간주 될 수 있지만 추론은 어딘가에서 마무리되어야합니다.

예를 들면, 참조 힐버트의 두 번째 문제 와 ZFC의 일관성이 논의 (그리고 이 와 이 와 이 아마 많은 이상).

게시물에 대한 흥미로운 철학적 요점이 많이 있습니다.

부울 논리의 일관성

고전 논리에서 증명 이론의 일관성 문제는 당신이 그것을 만드는만큼 무서운 것이 아닙니다. 기본적으로 다음과 같이 줄어 듭니다.

부울 논리를 진리 값 1및 에 대한 논리 연산 함수의 모음으로 정의 할 수 있습니다 0. 그러나 우리는 그것을 0≠1어떻게 알 수 있습니까?

(나는 단순히 두 개의 진리 값에 대한 추상 상징으로 사용 0하고 1있습니다. 특히 정수 개념을 가정하지 않습니다)

우리는 물론,하지 않는 알고 그 0와 1다르다. 그러나 부울 논리는 엄청나게 간단하여이 가능성을 거부하는 것은 극단적 인 회의론입니다.

그러나 고전적인 명제 논리는 이것으로 줄어 듭니다. 어떤 식 으로든 원자 명제에 부울 값을 할당 할 수 있으며, 이는 원자 명제로 구성 할 수있는 모든 명제에 값을 할당하는 것으로 확장됩니다.

" P당신이 추론 할 수있다 Q"라는 말은 말 그대로 순서 관계입니다. 그것은 " 건의 제안에 진리의 가치를 부여하는 v(P) ≤ v(Q)모든 기능을 보유하고있다 " 는 주장과 같은 것을 의미한다 v.

제안 논리에 대한 추론 규칙은 순서를 다루기위한 속성입니다 ≤. 귀류법, 특히, 관찰은 경우입니다 P ≤ 0, 다음 P = 0.

우리가 알고 있다면 ... 당신의 문제에 다시가는 모두 P ≤ 0와 ¬P ≤ 0, t 암탉 우리가 궁극적으로 그 결론을 내릴 것 진리 값을 연결 한 후 0=1, 그 진실과 거짓은 같은 것을 의미합니다.

따라서 "true"와 "false"가 다른 의미를 갖는다는 확신이 있으면 부울 논리의 일관성에 대해 비슷한 신뢰를 가져야합니다.

직관적 인 논리의 모순에 의한 증거

모순에 의한 증거는 다음과 같이 더 잘 공식화된다는 점에주의해야합니다.

• 당신이 모순에서 파생 할 수있는 경우 P, 다음 결론¬P

실제로 부정은이 속성과 연결되는 것으로 정의 할 수 있습니다. 예를 들어 Heyting 대수 에서는 일반적으로 P가 P → 0을 의미하도록 정의되어 있습니다.

특히, 특별한 경우

• 당신이 모순에서 파생 할 수있는 경우 ¬P, 다음 결론¬¬P

"모순으로 증명"이라고 설명한 것은로 식별 ¬¬P됩니다 P. 직관 논리는 이것들이 동등하다고 가정하지 않습니다.

공식 계약으로서의 일관성

인코딩 로직에는 더 많은 계산 형식이 있습니다. 단순히 유형화 된 람다 미적분학, 종속 유형, 특히 "유형으로서의 제안"패러다임을 참조하십시오.

자세히 설명하지 않으면 모순은 기본적으로 공식 계약으로 취급됩니다. 내가 호출 할 타입이 있고, 0"이 함수는 타입의 요소를 구성하는 데 사용될 수 없습니다"라는 계약이 있습니다 0.

그러한 시스템이 함수를 구성 할 수있을 정도로 대담 T → 0하다면, 실제로 계약을 보유하고 있다면, 유형의 객체를 생성하는 것도 마찬가지로 불가능하다는 것을 의미합니다 T. 이것은 모순에 의한 증거의 의미에 대한 전산 적 관점입니다.

궁극적으로 이것은 예를 들어 널 포인터를 리턴하지 않을 것으로 예상되는 포인터를 리턴하는 C 함수 또는 예외를 발생시키지 않는 C ++ 함수와 크게 다르지 않습니다.

그리고 고전적인 논리로 돌아가서, 우리가 실제로하고있는 것입니다.

"Peano의 공리에서 추론 규칙으로 인해 모순을 도출 할 수 없습니다"와 같은 공식 계약이 제공됩니다. 이 계약이 실제로 유지되는 경우 ¬P모순 을 암시한다는 사실을 입증 할 수 있으면 모순 P도 암시 할 수 없습니다.

그리고 계약을 위반할 수 있다면 "Peano의 공리가 일치하지 않습니다"라고 간단히 말할 수 있습니다.

공식적인 진술의 진실성을 보장하기 위해 사용될 때 모든 증거는 시스템의 일관성을 암시 적으로 가정합니다. 이는 시스템이 일치하지 않으면 시스템 전체가 손상되고 모든 작업이 수행 되었기 때문입니다. 그 시스템에서 기본적으로 쓰레기입니다.

우리는 어떤 시스템 (또는 최소한 어떤 복잡한 시스템)이 그 시스템의 범위 내에서 일관성이 있다는 것을 증명할 수 없기 때문에, 공식적으로 입증 가능한 진실보다는 경험적인 진실로 받아 들여야합니다. 기본적으로 수학자들이 공식적인 시스템을 다루는 데 오랜 시간을 소비하고 모순이 발견되지 않는다면, 그것은 시스템의 일관성을지지하는 경험적 증거입니다. 또한 더 강력한 시스템을 사용하여 작업중인 시스템의 일관성을 증명할 수 있습니다 (이보다 강력한 시스템의 일관성은 여전히 ​​경험적이지만 벅은 어딘가에 중단됩니다).

핵심은 수학의 상황이 과학의 상황과 동일합니다. 우리는 그 이론들에 관해 우리가 이용할 수있는 모든 정보를 바탕으로 올바른 것으로 보이는 이론들에 기초하여 수학을 구축합니다. 과학에서와 같이, 당신은 이론이 올바르다는 것을 증명할 수 없습니다. 당신은 그것을 잘못 증명할 수 있습니다.

$S$

수학을 기반으로 선택한 공리 시스템에 관계없이 항상 해당 시스템에서 모순을 발견 할 위험이 있습니다. 이것이 바로 수학자들이 수학에 새로운 공리를 도입하지 않는 이유입니다. 각각의 새로운 공리는 이미 사용중인 공리와 호환되지 않을 가능성이 있으며, 새로운 공리를 사용하는 모든 작업은 완전히 재평가되어야합니다.

부록 : 주어진 시스템에 대한 진술에 대해 이야기 할 때 시스템이 일관성이 있으면 해당 시스템 내에서 반증 할 수 없다는 것을 의미합니다.