전제 조건에 대한 또 다른 질문을 한 것이 사과가 될 수 있지만 시작점에 대해서는 혼란 스러웠습니다. 나는 "Modal Logic", "Temporal Logic", "First-order Logic", "Second order Logic"및 "Higher order Logic"과 같은 다양한 용어를 접했습니다.

이 맥락에서 "논리"는 정확히 무엇을 의미합니까? "논리"라는 단어를 어떻게 엄격하게 정의합니까?

나는 몇 권의 책의 시작 페이지를 살펴본 후 "논리는 프로그램의 자동 추론 및 이해를위한 프로그램 설계를 지시하고 촉진함으로써 프로그래밍 언어를 설계 할 때 무엇이 ​​중요한지를 결정하는 방법"이라고 대략 결론을 내릴 수 있습니다. 조금 정교하게 두 번째 요점을 이해합니다.

이제이 논리에 왔습니다.

이러한 모든 논리, "시간 논리", "모달 논리", "일차 논리", "고차 논리"가 서로 독립적입니까? 아니면이 그룹의 다른 몇 가지를 이해하려면 이러한 논리 중 몇 가지를 이해해야합니까? 간단히 말해서, 그들에 대한 전제 조건은 무엇입니까? (일부 자료에 대한 제안을 얻을 수 있다면 좋을 것입니다.)

PS : 당신의 친절에 감사합니다

기본적으로 논리는 두 가지로 구성됩니다.

• 구문 은 수식이 무엇인지 아닌지를 결정하는 규칙 집합입니다.
• 의미 체계 는 "참"인 수식과 "거짓"을 결정하는 일련의 규칙입니다. A를 모델 이론가 , 이것은 그들이 참된 걸 수학적 구조에 공식 관련된 표현된다; (A)에 증명 이론가 증명 규칙 (기술)의 선택 세트 공리 선택된 세트에도 낮게, 참값에 대응한다.

서로 다른 논리의 차이점은 가장 간단하게 구문과 의미를 선택하는 데 있습니다. 대부분의 논리는 명제 논리 또는 1 차 논리의 확장입니다 . 어떤 의미에서 이러한 확장은 논리에 "더 많은 기능 추가"로 볼 수 있습니다. 예를 들어, 시간적 논리는 시간에 따라 변할 수있는 진실을 처리합니다.

$\varphi$$t$$t$$\varphi$$t$

거의 모든 논리가 제안 및 1 차 논리를 기반으로하기 때문에 우선 그에 대해 배우는 것이 좋습니다.

컴퓨터 과학, 수학 및 물리학과 같은 분야는 비교적 체계적으로 구성되어 있지만 논리는 혼란스러운 역사를 가지고 있습니다. 조직은 정말 혼란스러워서 필드의 밀도가 높은 구조를 이해하기 위해 몇 가지 역사를 읽는 것이 중요하다고 생각합니다.

선택해야 할 경로는 배경 과 목표 에 따라 다릅니다 .

논리 란 무엇입니까?

1. 전통적 견해는 논리는 형식 언어 (구문), 의미론 (외부 의미, 프로그램 해석기의 생각) 및 다른 언어 (예 : 프로그램 축소). 논리는 순전히 단순한 수학적 대상으로 간주됩니다.

2. 현대적인 관점은 유명한 Curry-Howard 동형 을 통해 논리는 일관된 유형 시스템 (증거는 프로그램이고 유형은 공식 임)이라고합니다. 보다 정확하게 : 컷-제거 이론과 교회-로저 정리 / 유용성 이론을 즐기는 추론 규칙 체계는 기본 프로그래밍 시스템이 잘 작동 함을 암시합니다.

3. $p, q$

   • $P, Q$$P(x_1, ..., x_n)$$Q(x_1, ..., x_n)$
   • 2 차 논리에서 술어에 대한 변수는 1 차 함수를 취하는 함수의 유형이됩니다. 그것들은 1 차 함수를 인수로 취하는 함수처럼 행동합니다. 예를 들어, 술어보다 술어와 수량을 가질 수 있습니다.
   • 3 차 등을위한 동일한 추론. 더 높은 차수의 논리는 모든 순서를 받아들입니다. 함수 등의 함수를 인수로하는 함수를 가진 Haskell 과 OCaml 을 생각해보십시오 .

4. 일반적으로 논리가 무엇인지에 대한 합의는 없습니다. 일부 철학자들은 일관된 기본 프로그래밍 시스템이없는 시스템을 사용합니다. 사실, Logic을 사용하는 모든 필드에는 자체 로직 개념이 있다고 말할 수 있습니다. 그리고 대부분의 수학자들은 아마도 논리가 무엇인지 신경 쓰지 않을 것입니다.

필드의 구조

논리의 역사가 너무 커서 필드의 구조 만 설명하겠습니다. 형식적 논리의 분야는 철학적, 수학적, 계산적 용도로 나뉩니다. 공식적인 논리는 19-20 세기에 시작됩니다.

• 제안 논리 와 1 차 논리를 먼저 공부해야합니다 . 그들은 가장 표준적인 것들입니다. 그것들은 고대 그리스 시대의 오래된 논리에 공식 / 수학적 설명을 제공하기 위해 만들어졌습니다.

  • 모델 이론 (의미론), 논리의 관점에서 수학적 구조 연구
  • 증명 이론 (구문)은 독립적으로 수학 객체로서 증명을 연구합니다.

• 2 차 논리는 ​​제안 논리의 확장 인 1 차 논리의 확장입니다. 산술이 2 차 순서로 "실시간"(유도 된 술어에 대한 술어) 때문에 특히 흥미 롭습니다. 마찬가지로 토폴로지는 "3 차"(조건 자 자체로 볼 수있는 세트의 조건 자)에 있습니다.

• 그런 다음 논리를 두 가지로 나눈 LEJ Brouwer 가 나왔습니다 .

  • $A$$A \lor \lnot A$
  • 직관 논리 는 제외 된 중간 및 모든 동등한 법을 거부하는 일종의 논리 입니다 (기술 및 철학적 이유로 여기서 설명하지 않을 것입니다).

• 다른 맥락에서, 철학자들은 형식적인 논리에 관심을 갖게되고 철학적 질문 (분석 철학)에 답할 수 있다고 생각했다. 그들은 독자적인 논리 시스템 (불일치 논리, 관련 논리 및 deontic 논리, 시간 논리, epistemic 논리 등의 모달 논리)을 만들었습니다. 모달 논리는 진실과 함께 작동하지 않지만 가능성, 필요성, 시간, 지식과 같은 방식으로 작동합니다. 그것들은 모두 위의 논리와 무관합니다.

• $\lambda$

• 컴퓨터 과학자들은 형식적인 방식으로 시스템의 부패를 검증하고 증명하기를 원했고 모달 논리가 관련이있는 것 같습니다. 오늘날에는 시스템에서 추론하기 위해 시간적 논리와 모달 논리를 사용합니다 (형식적 방법, 모델 검사 참조). 시스템은 Automata Theory (예 : Automata Theory)를 통해 모델링되며 논리 도구를 사용하여 확인됩니다. 그것은 LLT (Linear Temporal Logic) 와 CTL (Computational Tree Logic )로 이어졌다 .

• 같은 동기로 컴퓨터 과학자들은 건전성을 확인하고 프로그램에 대한 속성을 증명하기를 원했습니다. 그래서 우리 는 명령형 프로그램을위한 Hoare Logic 과보다 일반적으로 Separation Logics를 발명했습니다 .

• , 커리 - 하워드의 동형를 연구함으로써, 새로운 논리가 등장 : 선형 논리 교정 및 프로그램의 삭제 및 중복 운영으로 간주 구조 규칙 (약화 및 수축)을 제한합니다. 진실의 무한한 가능성이 드러납니다. 이 논리는 고전적이고 직관적 인 논리를 일반화 한 것으로 보이며 계산과 절차 적 패러다임을 기반으로 완전히 새로운 논리 개념을 제공합니다. 주로 컴퓨터 과학자들이 연구합니다.

• Linear Logic은 또한 우리 가 Logic의 구조적 규칙을 거부하는 Substructural Logics 에서 나온 것 입니다. 관련 로직 및 Affine Logic이 이러한 시스템의 예입니다.

요약 및 경로 선택

• 모든 논리는 명제 논리, 1 차, 2 차, 3 차, ..., 높은 차수 일 수 있습니다 (각각 앞의 것을 확장).

• 기존 시스템을 변형하는 규칙을 추가하거나 제거 할 수 있습니다.

  • 제외 된 중간 제거 : 직관적 인 논리
  • 양식 추가 : 모달 로직
  • 모순 및 약화 제한 : 선형 논리
  • 수축 제거 : affine logic
  • 약화 제거 : 관련 로직
  • 부정을 다르게 처리 : 일관성없는 논리

• 제안 논리와 1 차 논리를 먼저 배우고 :

  • 수학에 관심이 있다면 모형 이론, 2 차, 고차
  • 컴퓨터 과학의 기초에 관심이 있다면 증명 이론, 직관 논리, 2 차, 선형 논리
  • 시스템 및 프로그램의 검증에 관심이있는 경우 모달 논리, 호아 논리, 분리 논리
  • 철학에 관심이 있다면 일반적으로 모달 로직, 비 클래식 로직

참고 문헌 (도서)

나는 개인적으로 가능한 경우 참조를 혼합하는 것이 좋습니다.

• 수학적 논리 (Chiswell & Hodges) : 매우 간결하고 간단한 책부터 시작하십시오.
• Logic (Hedman)의 첫 번째 코스 : 위와 약간 비슷하지만 자세한 내용을 제공하고 계산 성을 고려하십시오.
• 실제 논리 및 자동 추론 핸드북 (해리슨) : 일부 논리 관련 개념이 실제로 어떻게 구현되는지 이해하려는 경우. 자동화 된 추론에 중점을 둡니다.
• 컴퓨터 과학의 논리 (Huth & Ryan) : 컴퓨터 과학자 (프로그램 및 시스템의 검증, Hoare 논리, 모달 논리의 실제 사용, 시간 논리, 모델 검사)에 대해 매우 명확하고 지향적입니다.
• 증명 이론 소개 (버스) : 증명 이론 소개. 일반적인 논리 후에 이것을 읽는 것이 좋습니다.

참고 문헌 (Wikipedia)

• https://ko.wikipedia.org/wiki/Philosophical_logic
• https://ko.wikipedia.org/wiki/Curry%E2%80%93Howard_correspondence
• https://ko.wikipedia.org/wiki/Non-classical_logic
• https://ko.wikipedia.org/wiki/Intuitionistic_logic
• https://ko.wikipedia.org/wiki/Modal_logic
• https://ko.wikipedia.org/wiki/Model_theory
• https://ko.wikipedia.org/wiki/Proof_theory
• https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_temporal_logic
• https://ko.wikipedia.org/wiki/Computation_tree_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Separation_logic
• https://ko.wikipedia.org/wiki/Hoare_logic
• https://ko.wikipedia.org/wiki/Linear_logic
• https://ko.wikipedia.org/wiki/Substructural_logic

이러한 모든 논리는 수학 논리 아래에 있습니다.

수학적 논리는 종종 집합 이론, 모델 이론, 재귀 이론 및 증명 이론의 분야로 나뉩니다. 이러한 영역은 논리, 특히 1 차 논리 및 정의 가능성에 대한 기본 결과를 공유합니다. 컴퓨터 과학 (특히 ACM 분류에서)에서 수학적 논리는이 기사에서 자세히 설명하지 않은 추가 주제를 포함합니다. 그에 대한 컴퓨터 과학의 논리를 참조하십시오 .

또한 일반적인 용어로 논리에 대해 알고 싶다면 이 기사 가 유용 할 수 있습니다.

원래 "단어"또는 "말하는"을 의미하지만 "생각"또는 "이유"를 의미하는 논리는 가장 일반적인 진리의 법칙과 관련된 주제이며, 일반적으로 체계적인 연구로 구성됩니다. 유효한 추론의 형태. 유효한 추론은 추론의 가정과 결론 사이에 논리적지지에 대한 특정한 관계가있는 것이다.