부분 집합 합계 변형의 복잡성

이 부분 집합 합계 문제는 쉽게 / 알려져 있습니까?

주어진 정수 $m$, 양의 정수 집합으로 모든$A = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$$x_i$ 가 최대를$k=2$ 비트로 설정 $1$ ($x_i = 2^{b_{i_1}}+2^{b_{i_2}},\;\; b_{i_1},b_{i_2}\geq 0$); 서브 세트가 있습니까$A' \subseteq A$ 요소의 합이 같도록 $m$ ?

그것은이다 $\sf{P}$? 아직도 그래요$\sf{NP}$-완전한?

그리고 모든 경우 $x_i$ 기껏해야 $k=3$ 비트로 설정 $1$? 에 대한$k=1$ 문제는 사소하다.

여전히 $\sf{NP}$-완료 $k=2$. 부분 집합 합계의 인스턴스가 주어지면 숫자를 나누고 비트를 추가 하여이 변형으로 변환 할 수 있습니다.

첫째, 문제의 모든 숫자의 합이 $2^m$ 어떤 가치를 위해 $m$.

자 이제 숫자를 보자 $n$ 원래 문제에서 $k$비트 세트. 이 숫자를$k$ 정확히 2 비트가 설정된 숫자는 그 숫자의 합이 $n+2^{k+m}$. 우리는 이것을 재귀 적으로 할 수 있습니다.$\lceil{k}\rceil$ 첫 번째까지 합한 숫자 $\lceil{k}\rceil$ 비트 플러스 $2^{k+m-1}$ 과 $\lfloor{k}\rfloor$ 마지막으로 요약되는 숫자 $\lfloor{k}\rfloor$ 비트 플러스 $2^{k+m-1}$.

그 숫자 외에도 숫자를 추가합니다 $2^{k+m}$문제에. 솔루션은이 숫자 또는 모두를 포함해야합니다.$k$이전에 생성 된 숫자. 원래 목표 값이$t$ 새로운 목표 값은 $t+2^{k+m}$.

원래 문제에 둘 이상의 숫자가 있으면이 과정을 반복 할 수 있습니다 $k+m+1$ 새로운 가치를 위해 $m$.

비트 위치에는 두 가지 방법 만 있습니다 $k+m$ 설정할 수 있습니다 : 답변에 숫자가 포함될 수 있습니다 $2^{k+m}$ 또는 모두 $k$ 요약되는 숫자 $n+2^{k+m}$. 따라서 하위 집합 합계를 하위 집합 합계 변형으로 줄였습니다.

예를 들어 보자 ${\{2,3,5\}}$ 목표 값 $7$. 이 문제는 다음 이진수를 사용하여 여기에 제시된 부분 집합 합계 변형으로 인코딩 할 수 있습니다.

2에 매핑됩니다 $0100\ 1$ 과 $0000\ 1$. (여기서 여분의 비트를 사용할 필요는 없습니다.)

3에 매핑됩니다 $1000\ 00\ 1, 0100\ 00\ 1$ 과 $0000\ 00\ 01$

5에 매핑됩니다 $1000\ 00\ 000\ 1, 0010\ 00\ 000\ 1$ 과 $0000\ 00\ 000\ 01$.

새로운 목표 값은 $1110\ 10\ 010\ 01$.

원래 문제가 $n$ 비트, 그때 변형 된 문제는 최대 $O(n^4)$비트. 원래 문제는 최대$O(n)$ 각각 최대 개수 $O(n)$비트의 총합도 O (n)입니다. 변형 된 문제는$O(n^2)$ 숫자 (각각부터 $n$비트 번호는 $n+1$ $2$길이가 최대 인 비트 수 $O(n^2)$ 우리가 사용하기 때문에 $n$각 숫자에 대한 추가 비트. 변환 된 문제의 총 크기는$O(n^4)$ 비트.

이것은 Vor가 질문에서 추출한 정보입니다.

에 대한 $k \geq 3$문제는 NP-complete로 남아 있습니다. 모노톤 X-SAT에서 빠른 감소를 발견했습니다 ( 여기서 축소 스키마 참조 ).

문제는 NP 완료 상태로 남아 있습니다 $k = 2$자세한 내용은 Tom의 답변을 참조하십시오. 다음은 SUBSET SUM에서 축소 한 내용을 간략하게 나타낸 것입니다.