튜링 기계 + 시간 팽창 = 정지 문제를 해결합니까?

유한 한 관찰자의 과거에 무한 기간의 월드 라인이 포함될 수있는 상대 론적 시공간 (예 : MH 시공간; Hogarth 1994 참조)이 있습니다. 즉, 일반 관찰자는 무한한 수의 계산 단계에 액세스 할 수 있습니다.

컴퓨터가 무한한 시간 동안 완벽하게 작동 할 수 있다고 가정하면 (그리고 그것이 큰 요구라는 것을 알고 있습니다.)이 무한한 세계를 따라 이동하는 컴퓨터 HM을 구성하여 주어진 M에 대한 정지 문제를 계산할 수 있습니다. HM은 유한 관찰자에게 신호를 보냅니다. 무한한 수의 단계 후에 관찰자가 신호를 얻지 못하면 관찰자는 M이 반복되는 것을 알고 정지 문제를 해결합니다.

지금까지 이것은 괜찮습니다. 내 질문은 : 내가 지금까지 말한 내용이 맞다 면 중지 문제를 결정할 수 없다는 Turing의 증거를 어떻게 변경합니까? 이 시공간에서 왜 그의 증거가 실패 합니까?

튜링의 증거는 물리학이 아니라 수학 중 하나입니다. Turing 머신의 모델 내에서 Turing이 정의한대로 정지 문제의 결정 불가능 성이 입증되었으며 수학적 사실입니다. 따라서 튜링의 증거는 시공간에서 '실패'하지 않으며, 정지 문제와 시간 팽창의 관계에 대해 아무 것도 증명하지 않습니다.

그러나 '시간 팽창 튜링 머신'이 정지 문제를 해결할 수 있는지 여부를 알고 싶을 것입니다.

이를 튜링 머신에서 '시간 팽창'의 영향을 연구하려면 튜링 머신이 시간 팽창을 사용하는 것이 무엇을 의미하는지 공식적으로 이해할 수있는 공식 모델을 지정해야합니다. 불행히도이 형식은 모델 작성이 너무 광범위하기 때문에 공식적인 모델을 제공하는 데 적합하지 않습니다 (다른 사람이 논문을 작성하지 않은 한).

그러나 일부 형식화가 실제로 정지 문제를 해결할 수있는 것은 아닙니다. Scott Aaronson, Mohammad Bavarian 및 Giulio Gueltrini의이 논문 은 소위 폐회 시간과 같은 루프가 존재한다는 가정하에 계산 모델을 살펴보고 정지 모델이 실제로 해당 모델 내에서 계산 가능하다는 결론을 내립니다.

튜링 머신은 공식적인 수학적 계산 모델로, 물리적 한계에 응답하지 않으며 상대 론적 영향에 신경 쓰지 않습니다. 이는 튜링 기계의 표준 정의에 "시공간"이라는 개념이 포함되어 있지 않기 때문에 튜링의 증명이 실패하지 않음을 의미합니다.

시도하고 수행 할 수있는 것은 상대성에서 영감을 얻은 다른 계산 모델을 정의하는 것입니다. 다시 말하지만, 이것은 공식적인 목적 일 뿐이며, 정지 문제를 해결할 수 있는지 없는지에 대한 문제는 수학 영역에 속하며 특정 정의에 따라 다릅니다. 그러나 이제 진정한 질문은이 새로운 모델이 실제로 상대 론적 효과를 정확하게 포착하는지, 즉 우리의 물리를 실제로 반영하고 세계에 구현할 수 있는가하는 것입니다.

양자 계산에 관한 그러한 논의를 볼 수 있습니다. 우리는 "양자 튜링 기계"에 대한 공식적인 정의를 가지고 있으며, 정확한 계산 능력은 수학에서 여전히 개방적인 문제로 남아 있습니다 (정지 문제에 가깝지는 않습니다). 그래도이 정의가 양자 물리에 대한 우리의 이해를 반영하지는 않으며 더 나은 것이 필요하다고 주장 할 수 있습니다. 있다 인수 그들의 정확한 전원이 (강한) 교회 튜링의 논문에 영향을주지 않습니다, 그래서 그런 기계도 구축 할 수 없음을 의미한다.

질문으로 돌아 가기 무한 시간 튜링 머신 이라는 공식적인 개념이 있지만, 교회 튜링 논문에 어떤 영향을 미치려면 실제로 존재해야합니다. 상대 론적 효과를 활용하는 계산에 관한 섹션이있는 Scott의 논문에 관심이있을 수도 있지만 , 순진한 주장은 희망이없는 것처럼 보입니다 (시간 비용이 에너지 비용으로 대체되므로 실용적이지 않다는 점에서).

튜링의 증거에 따르면 튜링 기계는 시간이 얼마나 걸리더라도 정지 문제를 해결할 수 없습니다. 우주선이 컴퓨터를 작동시키는 데 10 억 년을주기 위해 시간 팽창을 사용했다면 여전히“아직 아님”보다 더 명확한 것을 말하지 못할 수도 있습니다.

분명히, (감사합니다, @DiscreteLizard!) 당신이 역설 원인, 한 번 루프를 설정할 수없는 시간 여행이있는 경우 컴퓨터가 튜링 기계가 정지 여부를 증명할 수없는 경우에 역설이 발생할 것입니다. 미래의 대답을 받아 다시 자신에게 전달하거나 영원히 실행됩니다 (그리고 영리하게도 안정적인 시간 루프로 해결되는 양자 중첩을 반환합니다). 그러나 이것을 시도하기 전에 시간 여행 역설을 일으키는 것이 안전하다는 것을 매우 확신하십시오.

반대 의견은 좁은 지역에서 무한한 엔트로피를 생성 할 수 있고 관찰자의 과거의 유한 한 부분에서 나타나는 것처럼 보이는 프로세스를 정의했다는 것입니다. 이것은 몇 가지를 의미합니다

• 컴팩트 한 영역에서의 계산 엔트로피는 Bekenstein을 초과합니다엔트로피에 바운드되어 (영역의 표면적에 비례) 바운드는 블랙홀 (즉시)로 붕괴되어 내부에서 어떤 신호도 사용자에게 도달 할 수 없습니다. (Kerr 측정법은 MH 시공간을 설명합니다. 무한 과정은 관찰자가 내부 사건 지평을 통과 할 때만 완료되는 것으로 관찰됩니다. 그러한 통과의 물리학에 대한 현재의 불확실성을 무시하면 원격 관찰자는 계산 결과에 액세스 할 수 없습니다. -블랙홀로 사라진 관찰자 만이 결과를 얻습니다. 이것은 유용한 계산 과정에 대한 설명이 아닙니다 : "우리는 그러한 질문에 대해 일정한 시간 안에 질문에 대한 정답을 만들어내는 오라클을 가지고 있습니다 답변은 블랙홀을 플러시하여 파괴되는 순간에만 답변이 존재하는 방식입니다. ")
• 튜링 머신은 테이프의 심볼을 덮어 쓸 때마다 정보를 삭제하므로 Landauer의 원칙 에 따라 과거의 라이트 콘에서 유한 세그먼트로 압축 된 무한 월드 라인에 대한 유한 계산은 무한한 전력이 필요하고 방출되는 것으로 관찰되어야합니다. 무한 시간 동안 무한 열이 작동하는 것으로 관찰됩니다. 즉, 유한 시간 내에 정지가 이루어 지므로 외부 관찰자의 관점에서 즉시 달성되므로 모든 전력이 즉시 소비되고 모든 열이 즉시 방출됩니다. 대안 적으로, 계산이 중단되지 않으면, 소형 영역은 지속적으로 무한 전력을 소비하고 무한 열을 방출한다. 결과 : 다시 블랙홀.
• 또는, 론 도어 원리는 적용되지 않습니다 가역적 컴퓨팅 과가 있습니다 ( 보편적 인 ) 가역 튜링 기계 . 그러나 이러한 튜링 기계는 사용되는 테이프의 크기에 비례하는 잠재적 인 계산 상태의 전체 공간을 표현할 수있는 능력이 필요하므로 신속하게 Bekenstein 경계에 도달합니다. 우리는 제한된 길이의 테이프로 제한함으로써 열 문제를 피할 수 있습니다. 마찬가지로, 무한 월드 라인이있는 영역의 표면적에 의해 제어되는 사용 가능한 테이프 길이의 상한이 있습니다. 이것을 설명하지 않고 계산에 너무 많은 테이프를 사용하면 블랙홀이 다시 나타납니다.

이러한 제약이 양자 컴퓨터에 적용되는지 여부와 방법은 흥미로운 공개 질문입니다. 양자 컴퓨터에 의해 수행 될 수있는 계산의 복잡성은 컴퓨터의 표면적에 의해 제한 될 수있다. 따라서 우리는 하나 이상의 유용한 큐 비트 계산을 얻기 위해 극도의 양자 컴퓨터의 표면적을 두 배로 늘려야 할 수도 있습니다. 이것은 비현실적으로 큰 컴퓨터로 빠르게 이어집니다.

Bangs, Crunches, Whimpers 및 Shrieks의 인용문 :

톰슨 램프, 슈퍼 $\pi$기계와 플라토 니스트 컴퓨터는 철학자들의 장난감이다. 그들은 철학 저널의 온실 분위기에서만 살아남을 수 있습니다. 결국, M-H 시공간과 그들이 맡은 수퍼 태스크는 유사하게 일반 상대 주의자들에게 더 나은 조치를 취하지 않는 레크리에이션 소설 인 것으로 판명 될 수 있습니다. 그러나이 후자의 입장에 도달하기 위해서는 특이성의 특성과 우주 검열의 운명을 포함하여 고전적 일반 상대성 이론에서 가장 깊은 기초 문제를 먼저 해결해야한다. 물리학의 실제 문제와의 연관성이 토론의 가치가 있습니다.

수학의 철학과 계산의 이론과도 관련이 있습니다. 초기 철학자 때문에 일부 철학자들은 형식의 산술 공식에 진리 값을 할당하는 것이 의미가 있다고 의심했습니다$(\exists x_1)(\exists x_2)\dots(\exists x_n)F(x_l,x_2,\dots,x_n)$. 수학적 진술의 진실을 시공간 구조의 우발성에 의존하게 만드는 것은 매력적이지 않은 것 같습니다. 위에서 고려한 종류의 배열은 순수하게 존재하거나 순수하게 보편적 인 프리 넥스 정규 형식으로 산술 주장의 진실 가치를 결정하는 데 사용될 수 있습니다. (예를 들어, 페르마의 마지막 정리는 순전히 보편적 인 형태를 가지고 있습니다.)$\gamma_1$ 의 (상대적으로 무한한) 목록을 통해 확인하도록 설정되어 있습니다. $n$테스트 할 주장에 따라 위조자 또는 검증자를 검색하는 숫자의 튜플은 보편적이거나 존재하며, $\gamma_1$이 노동에서 주장의 진실 가치에 대한 지식을 얻습니다. 그러나 혼합 정량자가 관련 되 자마자이 방법은 실패합니다. 그러나 Hogarth (1994)는 일반적으로 상대 론적 시공간에서 더 복잡한 배열이 원칙적으로 임의의 정량적 복잡성의 산술 주장의 진실 가치를 확인하는 데 사용될 수 있음을 보여 주었다. 그러한 시공간 안에서 우리는 산술에서 진실의 명확한 개념이 없다는 태도를 유지하는 방법을 찾기가 어렵습니다.