정교한 재귀 알고리즘의 예

나는 유명한 결정 론적 선형 시간 선택 알고리즘 (중위 알고리즘의 중간 값 알고리즘)을 친구에게 설명하고있었습니다.

이 알고리즘의 재귀는 (매우 단순하지만) 매우 정교합니다. 각각 다른 매개 변수를 가진 두 개의 재귀 호출이 있습니다.

흥미로운 재귀 알고리즘의 다른 예를 찾으려고했지만 찾을 수 없었습니다. 내가 생각해 낼 수있는 모든 재귀 알고리즘은 단순한 꼬리 재귀 또는 간단한 나누기와 정복입니다 (두 호출이 "동일한").

정교한 재귀의 예를 들어 줄 수 있습니까?

내가 가장 좋아하는 반복은 커크 패트릭과 세이 델이 먼저 볼록 껍질을 계산하기위한 출력 감지 알고리즘에 나타나고 나중에 다른 사람들도 반복합니다. 하자 의 볼록 선체 계산 시간 나타내고 N 볼록 선체를 갖는 평면에서 점 H 정점. (값 H는 사소한 바운드 제외하고, 사전에 공지되지 않은 H ≤ N 커크 패트릭 및 자이 델의 알고리즘이 반복 산출한다.) T ( N , H를 ) = { O ( N ) $T(n,h)$$n$$h$$h$$h\le n$ 경우n1,n2≤3n/4및n1+n2=n및h1+h2=h입니다.

$$T(n,h) = \begin{cases} O(n) & \text{if }n \le 3 \text{ or } h \le 3 \\ T(n_1, h_1) + T(n_2, h_2) + O(n) & \text{otherwise} \end{cases}$$ $n_1, n_2 \le 3n/4$$n_1 + n_2 = n$$h_1 + h_2 = h$

용액은 . h 가 균등하게 분할되는 매개 변수가 아니기 때문에 이것은 조금 놀라운 일 입니다. 그러나 사실, 재발 의 최악의 경우는$T(n,h) = O(n\log h)$$h$ 과 h 2 가 모두 약 h / 2. 어떻게 든 마술 적으로 h 1 이 항상 일정하다면, 해는 T ( n , h ) = O ( n ) 입니다.$h_1$$h_2$$h/2$$h_1$$T(n,h) = O(n)$

난이 재발의 변형을 사용하는 제 1 연산 토폴로지 논문 중 하나 : 곳

$$T(n,g) = \begin{cases} O(n) & \text{if }n \le 3 \text{ or } g = 0\\ T(n_1, g_1) + T(n_2, g_2) + O(\min\{n_1, n_2\}) & \text{otherwise} \end{cases}$$ 및 g 1 + g 2 = g 입니다. 다시 말하지만, 해는 O ( n log g ) 이며,최악의경우는 n 과 g 가 항상 균등하게 분할될 때 발생합니다.$n_1 + n_2 = n$$g_1 + g_2 = g$$O(n\log g)$$n$$g$

Aggarwal 등의 저의 논문 인 "볼록 다각형의 보로 노이 다이어그램을 계산하기위한 선형 시간 알고리즘" 에서 사용한 재귀 역시 상당히 복잡합니다.

여기 우리 논문의 알고리즘에 대한 설명이 있습니다. 설명에서 명확하지 않은 경우, 3 단계에서 빨간색 점이 크림슨 지점과 가닛 지점으로 분할됩니다. 1, 3, 6 단계는 모두 선형 시간입니다. 또한 이 총 포인트 수인 경우 | B | ≥ α n , | R | ≥ β $n$$|\mathrm{B}| \geq \alpha n$$|\mathrm{R}| \geq \beta n$ 및 일부 α , β , γ > 0 .$|\mathrm{C}| \geq \gamma n$$\alpha, \beta, \gamma > 0$

전체 알고리즘에 선형 시간이 걸리는 이유를 알아 보겠습니다.

1. 원래 지점을 파란색과 빨간색 세트 B와 R로 분할하십시오.
2. 파란색 점의 볼록 껍질을 재귀 적으로 계산합니다.
3. 파란색 선체의 구조를 사용하여 크림슨 점 C를 선택하십시오.
4. 한 번에 하나씩 파란색 선체에 크림슨 포인트를 추가하십시오.
5. 가닛 점 G의 볼록 껍질을 재귀 적으로 계산합니다.
6. 이 가넷 선체를 4 단계의 확장 된 파란 선체와 병합하십시오.

알고리즘을 선형으로 만드는 것은 점당 일정한 비용으로 빨간색 선분의 고정 된 부분을 파란색 선체에 추가하는 기능입니다. 추가 된 포인트는 크림슨 포인트입니다.

재귀 따라서이다 당신이 모르는 | B | 와 | G | 그러나 보장 | B | + | G | ≤ ( 1 - γ ) n .

$$T(n) = T(|B|) + T(|G|) + O(n)$$ $|B|$$|G|$$|B| + |G| \leq (1-\gamma) n$

하프 플레인을 사용하여 범위를 검색 할 때 발생하는 중앙값 찾기 재귀에 변형이 있습니다. 재발 자체는 형태입니다

중간 규명 재발 유사하다. 이에 대한 자세한 내용은Jeff Erickson의 강의 노트와 특히 섹션 4를 참조하십시오.

$$T(n) = T(n/2) + T(n/4) + cn$$

RNA 2 차 구조 예측에 사용되는 멋진 재귀 알고리즘 [1], [2]이 많이 있습니다. 자체 장치에 남겨두면 RNA 가닥이 자체와 염기쌍을 형성합니다. [3]의 비교적 간단한 예는 RNA 문자열이 자체적으로 형성 할 중첩 된 쌍을 이루는 염기의 최대 수를 계산합니다.

$M(i,j)=\underset{i\leq k < j - L_{min}}{max} \begin{cases} M(i,k-1)+ M(k+1, j-1)+1 \\M(i, j-1) \end{cases}$

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1. 열역학 및 보조 정보를 사용하여 큰 RNA 서열을 최적으로 컴퓨터 접기M. Zuker, P. Stiegler (1981)의 를

2. E. Rivas, SR Eddy에 의한 유사 노트 를 포함한 RNA 구조 예측을위한 동적 프로그래밍 알고리즘 (1999)

3. R. Nussinov, AB Jacobson (1980) 의 단일 가닥 RNA의 2 차 구조 예측을위한 빠른 알고리즘

나는 아직도 "정교한 재귀"의 의미를 이해하지 못한다. 예를 들어, FFT 알고리즘의 재귀 단계는 정교합니다!

그러나 더 복잡한 재귀 를 찾으려면 상호 재귀 가 가능한 대답 일 수 있습니다. 상호 재귀는 함수형 프로그래밍 언어로 작업 할 때 유용 합니다 . 상호 재귀는 재귀 하강 파서 의 주요 기능입니다 .

내 머리 꼭대기에서 McCarthy 91 기능

F(N) = 
    n - 100    if n > 100
    F(F(n+11)) if n <= 100

그리고 Ackermann 기능

A(m, n) = 
    n + 1             if m = 0
    A(m-1, 1)         if m > 0 and n = 0
    A(m-1, A(m, n-1)) if m > 0 and n > 0

완구적이고 재귀적인 기능이기는하지만 색다른 것으로 계산 될 수 있습니다.