의사 결정 문제의 최적화 버전

각 최적화 / 검색 문제에는 동등한 결정 문제가있는 것으로 알려져 있습니다. 예를 들어 최단 경로 문제

최적화 / 검색 버전 : 무 방향 비가 중 그래프 와 두 개의 정점 주어지면 와 사이의 최단 경로를 찾으십시오 . $G = (V, E)$ $v,u\in V$ $v$ $u$

의사 결정 버전 : 무 방향 무가 중 그래프 , 두 개의 정점 및 음이 아닌 정수 가 주어지면 길이가 최대 인 와 사이 에 경로가 있습니까? $G = (V, E)$ $v,u\in V$ $k$ $G$ $u$ $v$ $k$

일반적으로 " st 찾기 !" " st st ?"가됩니다. $x^*\in X$ $f(x^*) = \min\{f(x)\mid x\in X\}$ $x\in X$ $f(x) \leq k$

그러나 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 즉 모든 결정 문제에 대해 동등한 최적화 문제가 있습니까? 그렇지 않은 경우 동등한 최적화 문제가없는 의사 결정 문제의 예는 무엇입니까?

— 루크 마일
소스

이 비트는 0입니까?

— JeffE

"동등한"을 더 자세히 설명해야합니다. 예를 들어 다항식 시간 (또는 로그 공간)에서 다른 하나를 오라클 / 블랙 박스로 사용하여 해결할 수 있습니까?

내부의 모든 문제 또는 문제에만 관심이

N P

$\sf{NP}$ 있습니까?

— Kaveh

당신의 관점에 따라, 그 질문은 사소한 것 ( " " 가없는 결정 문제를 취함 ) 또는 대답 할 수없는 것입니다 ( "등가의 선택 문제가 없음"을 증명하는 방법?).

k

$k$

— Raphael

의견에서 이미 언급했듯이 평소와 같이 정의에 따라 다릅니다. 이에 대한 나의 시도는 상당히 정의가 필요하므로 간결한 대답을 할 수없는 또 다른 예가 될 것입니다.

정의 : 의 최적화 문제는 튜플 와 $(X,F,Z,\odot)$

$X$ 적절하게 인코딩 된 (문자열) 인스턴스 또는 입력 세트 .
$F$ 각 인스턴스에 매핑하는 함수 세트에 의 실현 가능한 솔루션 의 . $x\in X$ $F(x)$ $x$
$Z$ 각각의 쌍으로 매핑 목적 함수 , 및 실제 개수에 착신 값 의 . $(x, y)$ $x \in X$ $y\in F(x)$ $Z(x, y)$ $y$
$\odot$ 은 IS 최적화 방향 중, 또는 . $\min$ $\max$

정의 : 최적화 문제 의 인스턴스 에 대한 최적의 솔루션 은 실현 가능한 솔루션 입니다. 입니다. 최적 해의 값은 로 표시되며 최적 이라고합니다 . $x\in X$ $P_O$ $y\in F(x)$ $Z(x, y)=\odot\{Z(x, y')\mid y'\in F(x)\}$ $Opt(x)$

정의 : 평가 문제는 , 표시 최적화 문제에 대응 다음과 같다 : 인스턴스가 주어지면 , 컴퓨팅 경우 최적의 솔루션의 출력, 그렇지 않으면 '아니오 최적 솔루션 "을 갖는다. $P_E$ $P_O$ $x\in X$ $Opt(x)$ $x$

이것은 전체 솔루션 자체가 아니라 모든 세부 정보가 포함 된 최적 솔루션 의 가치 를 요구합니다 .

정의 : 결정 문제는 , 표시 최적화 문제에 대응 은 다음과 같다 : 한 쌍의 주어 여기서 및 , 결정할 실현 가능한 솔루션을 가지고 되도록 경우 및 그 경우 . $P_D$ $P_O$ $(x, k)$ $x\in X$ $k\in\mathbb{Q}$ $x$ $y$ $Z(x, y)\le k$ $\odot=\min$ $Z(x, y)\ge k$ $\odot=\max$

첫 번째 관찰은 입니다. 증거는 어렵지 않으며 여기서 생략됩니다. $P_O\in \mathrm{NPO} \Rightarrow P_D\in \mathrm{NP}$

이제 직관적으로 및 에 해당하는 보다 더 어렵지 않다 자체. 이 느낌을 공식적으로 표현하기 위해 (그에 상응 하는 것이 무엇 을 의미 하는지 정의 ) 축소를 사용합니다. $P_E$ $P_D$ $P_O$ $P_O$

언어 리콜 것을 다른 언어에 대한 다항식 시간 환원성이다 기능이있는 경우 다항식 시간을 계산할 수, 모든 단어에 대한 , . 이러한 종류의 환원은 Karp 또는 다 대일 환원이라고하며 , 을 이런 식으로 로 환원 할 수 작성하여 표현합니다 . 이것은 NP- 완료의 정의에서 중심 개념입니다. $L_1$ $L_2$ $f$ $x$ $x\in L_1\Leftrightarrow f(x)\in L_2$ $L_1$ $L_2$ $L_1\le_m L_2$

불행히도, 다 대일 축소는 언어 사이에서 진행되며 최적화 문제와 관련하여 언어를 사용하는 방법이 명확하지 않습니다. 그러므로 우리는 다른 종류의 환원, 튜링 환원 을 고려해야합니다 . 먼저 우리는 이것을 필요로합니다 :

정의 : 문제 의 오라클 은 인스턴스를 일정한 시간에 풀 수있는 (가설적인) 서브 루틴입니다 . $P$ $P$

정의 : 문제 다항식 시간 튜링 환원 문제에 작성, 의 인스턴스 경우, 위한 오라클에 액세스 할 수있는 알고리즘에 의해 다항식 시간에 해결할 수 . $P_1$ $P_2$ $P_1\le_T P_2$ $P_1$ $P_2$

비공식적으로 과 마찬가지로 관계 는 이 보다 어렵지 않다는 것을 표현 합니다. 가 다항식 시간에 풀 수 있다면 도 알 수 있습니다 . 다시 는 전이 관계입니다. 다음과 같은 사실이 명백합니다. $\le_m$ $P_1\le_T P_2$ $P_1$ $P_2$ $P_2$ $P_1$ $\le_T$

하자 , 다음 . $P_O\in \mathrm{NPO}$ $P_D\le_T P_E\le_T P_O$

전체 솔루션이 제공되므로 값을 계산하고 바운드 충족하는지 여부를 결정하는 것은 간단합니다. $k$

정의 : 두 문제 과 대해 두 관계 , 유지되면 ; 동등성에 대한 우리의 개념 . $P_1$ $P_2$ $P_1\le_T P_2$ $P_2\le P_1$ $P_1\equiv_T P_2$

이제 해당 최적화 문제가 이고 가 정수 값인 경우 를 증명할 준비가되었습니다 . 보유하고 있음을 보여 주어야합니다 . 우리는 확인할 수 있습니다 이진과를위한 orcale usign 검색 . 의 정의는 일부 다항식 대해 를 보장 하므로 이진 검색의 단계 수는 다항식입니다 . $P_D\equiv_T P_E$ $P_O\in \mathrm{NPO}$ $Z$ $P_E \le_T P_D$ $\odot\{Z(x,y)\mid y\in F(x)\}$ $P_D$ $\mathrm{NPO}$ $|Z(x, y)|\le 2^{q(|x|)}$ $q$ $|x|$ $\Box$

최적화 문제를 들어 에 관계 덜 분명하다. 많은 구체적인 경우, 직접 보여줄 수 있습니다 . 이것이 일반적으로 여기에 주어진 프레임 워크 내에 있음을 증명하려면 추가 가정이 필요합니다. $P_O$ $P_E$ $P_D\equiv_T P_E \equiv_T P_O$

먼저 언어 쌍에서 해당 의사 결정 문제 쌍으로 을 확장해야합니다 . 그런 다음 것을 쉽게 알 수있다 보다 일반적이다 . $\le_m$ $\le_T$ $\le_m$

하자 와 의사 결정 문제가 될; 다음 . 다 대일 축소는 매우 제한된 방식으로 오라클을 사용하는 것으로 해석 될 수 있기 때문에 유지됩니다. 오라클은 마지막에 한 번 호출되고 그 결과도 전체 결과로 반환됩니다. $P$ $P'$ $P\le_m P' \Rightarrow P\le_T P'$ $\Box$

이제 피날레를위한 준비가되었습니다 :

하자 과 가정하자 정수 값이며, 그 NP-완료 후입니다이전 관찰에서 를 보여줍니다 . 이를 위해 와 같은 문제가 발생 합니다. 그리고두 번째 및 세 번째 는 이전에 증명 된 결정 및 평가 버전의 동등성으로 인해 합니다. 세 번째 는 P_D의 및 앞에서 언급 한 두 가지 사실, 즉 $P_O\in \mathrm{NPO}$ $Z$ $P_D$

P_{D} \equiv_{T} P_{E} \equiv_{T} P_{O} .

$P_D\equiv_T P_E \equiv_T P_O.$

P_{O} \leq_{T} P_{E}

$P_O\le_T P_E$

P_{O}^{'} \in N P O

$P_O'\in \mathrm{NPO}$

P_{O} \leq_{T} P_{E}^{'}

$P_O\le_T P_E'$

P_{O} \leq_{T} P_{E}^{'} \leq_{T} P_{D}^{'} \leq_{T} P_{D} \leq_{T} P_{E} .

$P_O\le_T P_E' \le_T P_D'\le_T P_D\le_T P_E.$

\leq_{T}

$\le_T$

\leq_{T}

$\le_T$

P_{D}

$P_D$

P_{O} \in N P O \Rightarrow P_{D} \in N P

$P_O\in \mathrm{NPO} \Rightarrow P_D\in \mathrm{NP}$ 및 .

P \leq_{m} P_{O}^{'} \Rightarrow P \leq_{T} P_{O}^{'}

$P\le_m P_O' \Rightarrow P\le_T P_O'$

이제 세부 사항 : 의 가능한 솔루션이 가 장착 된 알파벳 사용하여 인코딩 되었다고 가정하십시오 . 하자 의 단어 수 일반적인 길이 단어의 블록 내에서 길이와 사전 식 순서를 비 감소의 순서로 나열. (따라서 빈 워드이다.) 모든 내용 하자 고유 정수를 나타낸다 되도록 . 두 및 다항식 시간 내에 계산 될 수있다. 를 모든 대해 다항식으로 하자 $P_O$ $\Sigma$ $w_0, w_1, \ldots$ $\Sigma^*$ $w_0$ $y\in\Sigma^*$ $\sigma(y)$ $i$ $y=w_i$ $\sigma$ $\sigma^{-1}$ $q$ $x\in X$ 모든 에는 있습니다. $y\in F(x)$ $\sigma(y)<2^{q(|x|)}$

이제 문제 는 수정 된 목적 함수 제외하고 동일합니다 . 들면 및 우리가 가지고 . 는 다항식 시간으로 계산 가능하므로 입니다. $P_O'$ $P_O$ $Z'$ $x\in X$ $y\in F(x)$ $Z'(x, y)=2^{q(|x|)}\cdot Z(x,y)+\sigma(y)$ $Z'$ $P_O'\in \mathrm{NPO}$

그 표시하려면 우리가 관찰 에 대한 가능하다 경우 그것을 위해 가능한 경우에만 . 반대의 경우는 다루기가 쉽지 않기 때문에이 경우라고 가정 할 수 있습니다. $P_O\le_T P_E'$ $x$ $P_O$ $P_E'$

의 substituion 에 대한 의미에서 단순하다 모든 , 만약 다음 . 이것은마다 최적의 솔루션을 의미 에서 최적 솔루션 에 . 따라서 우리의 과제 는 에서 의 최적 해 의 계산으로 줄 입니다. $Z'$ $Z$ $y_1, y_2\in F(x)$ $Z(x, y_1)<Z(x, y_2)$ $Z'(x, y_1)<Z'(x, y_2)$ $x$ $P_O'$ $x$ $P_O$ $y$ $x$ $P_O'$

위한 오라클 쿼리 우리의 값을 얻을 수 . 이 수의 나머지 모듈로 하면 다항식 시간으로 를 계산할 수있는 가 생성 됩니다. $P_E'$ $Z'(x,y)=2^{q(|x|)}\cdot Z(x,y)+\sigma(y)$ $2^{q(|x|)}$ $\sigma(y)$ $y$

— 울리
소스

"문제 P의 오라클은 P의 인스턴스를 일정한 시간에 해결할 수있는 (가설적인) 서브 루틴입니다." 오라클은 일정한 시간 만 가져야합니까?

— Tim

@Tim 물론 책이 있습니다. 다른 답변

— uli

오라클에 관한 @ 팀 : 당신이 발견하는 경우 / 감소 생각 두 가지 문제 사이 와 는 한 감소 를위한 효율적인 알고리즘 찾는 문제 위한 효율적인 알고리즘을 찾는 . 즉, 감소는 를 풀기 위해 를 사용할 수 있음을 나타 냅니다. 의 알고리즘에서 의 서브 루틴을 사용하는 것과 같습니다 . 그러나 문제 와

A \leq_{T} B

$A\le_T B$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

B

$B$

A

$A$

A

$A$

B

$B$ 효율적인 솔루션을 모르는 경우가 종종 있습니다. 그리고 Turing-reducibility의 경우, 관련된 문제를 전혀 결정할 수없는 경우에도 사용합니다.

— uli

@Tim 따라서 는 알 수없는 서브 루틴입니다. 복잡도 이론에서 oracle 와의 알고리즘으로 축소에서 파생 된 대한 가상 알고리즘을 호출하는 것이 관례가되었습니다 . 에 대한 알 수없는 서브 루틴 호출 오라클은 단지 우리가에 대한 효율적인 알고리즘을 찾을 수 있도록 노력하겠습니다 수없는 표현 우리가 오라클 얻을 수 있도록 노력하겠습니다 수없는 것처럼 . 이 선택은 마법의 능력을 의미하기 때문에 다소 불행합니다. 오라클 비용은서브 루틴은 적어도 입력 를 읽어야합니다 .

B

$B$

A

$A$ $B$

B

$B$

B

$B$

B

$B$

| x |

$|x|$

x

$x$

— uli

모든면에서 훌륭한 답변; 내가 추가 할 수있는 유일한 것은 (또 다른 질문을 통해 지금에 오는)에 '최적화 방향은'복잡성의 불필요한 비트인지하고 구체성을 위해 우리는 항상 목적 함수 것을 추정 할 수 극대화 될 것이다; 의도 최소화하는 경우, 우리는 새로운 목적 함수 정의 할 수 있습니다 하고 모든 최소화 다시 극대화로 .

Z

$Z$

Z^{'} = - Z

$Z'=-Z$

Z

$Z$

Z^{'}

$Z'$

— Steven Stadnicki

의견에서 알 수 있듯이 대답은 정확한 정의에 따라 다릅니다. 아주 기본적인 방법으로도 질문을 해석하겠습니다.

하자 약간 인 관계 일 수 . $S$ $S \subseteq \{ (a,b) \mid a,b \in \Sigma^*\}$

이제 대한 검색 문제 를 정의합니다 . $S$

주어지면 와 같은 찾으십시오 . $a$ $b$ $(a,b) \in S$

과 의사 결정 문제 에 대한 : $S$

주어진 인지 여부를 응답합니다 . $(a,b)$ $(a,b) \in S$

_{(예를 들어, 질문에 주어진 예에서, 는 모든 쌍 을 보유하여 와 사이에 보다 짧은 경로가 존재합니다 .) $S$ $(u,v,k)$ $u$ $v$ $k$}

이 두 가지 문제는 잘 정의되어 있습니다. 이 정의를 위해 , 우리는 두 가지 문제가 대해 "동등한"것인지를 물을 수 있습니다 . "동등한"에서 나는 그것들 중 하나가 계산 가능하다면 (즉, 그것을 해결하는 알고리즘이 존재한다면) 다른 것 또한 계산 가능하다는 것을 의미한다. 일반적으로 그렇지 않습니다. $S$

주장 1 : 결정은 검색을 의미합니다 .

증명 : 를 의 결정 문제를 해결하는 알고리즘이라고 합시다 . 입력 주어지면 대해 를 실행할 수 있습니다 . 가 과 같은 가 존재 하면 결국 찾을 것입니다. 그렇지 않으면 알고리즘이 중지하지 않을 수 있습니다 . $D_S$ $S$ $a$ $D_S(a,x)$ $x\in \Sigma^*$ $b$ $(a,b)\in S$ $^\dagger$

주장 2 : 수색 은 결정을 의미 하지 않습니다 .

그 이유는 검색 알고리즘이 필요한 것과 다른 반환 할 수 있기 때문입니다 . 즉, 모든 대해 찾기가 매우 쉬운 일부 가 있지만 그렇지 않은 다른 가 있습니다. 예를 들어 결정 불가능한 언어로 설정 한 다음 모든 대해 검색 알고리즘은 을 반환 할 수 있습니다 . 그러나 어떤 결정 알고리즘이 제대로 대답하지 수 있는지 여부 에 대한, 모든 쌍 . 가능하다면 결정 불가능한 문제를 결정했을 것입니다. 이는 불가능합니다. $b$ $a$ $b$ $b'$ $L$

S = {(x, 0) ∣ x \in Σ^{*}} \cup {(x, 1) ∣ x \in L} .

$S = \{ (x,0) \mid x\in \Sigma^*\} \cup \{ (x,1) \mid x \in L\}.$

x

$x$

0

$0$

(x, 1) \in S

$(x,1) \in S$

(x, 1)

$(x,1)$

$^\dagger$ 이것은 따라 다릅니다 . 예를 들어 가 바인드되면 중지하는 알고리즘이있을 수 있습니다. $S$ $S$

— 란 G.
소스

올바른 결정 문제는 st 입니다.

b

$b$

⟨ a, b ⟩ \in S

$\langle a,b \rangle \in S$

— Kaveh

결정이 의 존재로 정의되면 검색은 결정을 내포합니다.

b

$b$

— Ran G.

약한 의미에서 iewrt의 계산 능력은 있지만 복잡한 것은 아닙니다.

— Kaveh