정렬에 대한 흥미로운 문제

번호가 매겨진 볼이있는 튜브 (무작위) 튜브에는 공을 제거하기위한 구멍이 있습니다. 한 작업에 대해 다음 단계를 고려하십시오.

1. 구멍에서 하나 이상의 공을 고르고 공을 고른 순서를 기억할 수 있습니다.
2. 파이프에 남아있는 볼이 왼쪽으로 이동하고 볼을 제거하여 생성 된 빈 공간을 차지하도록 파이프를 왼쪽으로 기울여야합니다.
3. 파이프에서 번호가 매겨진 볼을 선택한 순서를 변경해서는 안됩니다. 이제 공의 움직임으로 생성 된 빈 공간을 사용하여 파이프에 다시 넣습니다.

1 단계에서 3 단계는 하나의 작업으로 간주됩니다.

번호가 매겨진 볼을 오름차순으로 정렬하는 데 필요한 최소 작업을 찾으십시오.

예 : 튜브에 다음이 포함 된 경우 : $[1\ 4\ 2\ 3\ 5\ 6]$

그런 다음 $4$ 와 $5$ , 6 을 꺼낼 수 있고 $6$파이프를 왼쪽으로 기울이면 $[1\ 2\ 3]$ , 파이프 끝까지 $(4\ 5\ 6)$ 을 순서대로 삽입 하여 $[1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6]$ .

따라서 필요한 최소 단계 수는 1입니다. 파이프를 정렬하려면 최소 작업을 찾아야합니다.

이 문제를 해결하는 방법에 대한 아이디어 나 힌트가 있습니까?

다음 프로세스를 사용하여 r ( π ) 로 표시된 순열 π 의 실행 파티션 번호 를 정의하십시오 . 하자 k는 숫자를 정수되도록 최대 수 분 ( π가 ) , ... , k는 에서 증가하는 순서로 나타나는 π . π 에서 그것들을 제거하고 과정을 반복하십시오. 전체 순열을 소비하는 데 걸리는 라운드 수는 r ( π ) 입니다.$\pi$$r(\pi)$$k$$\min(\pi),\ldots,k$$\pi$$\pi$$r(\pi)$

예를 들어, r ( 62735814 )을 계산해 봅시다 . 우리는 먼저 6273584 를 얻기 위해 1을 따로 설정 했습니다 . 그런 다음 234를 따로 설정 하여 6758 을 얻습니다 . 그런 다음 5를 따로 설정 하여 678 을 얻습니다 . 마지막으로 빈 순열을 얻기 위해 678 을 따로 설정했습니다 . 이 과정에는 4 개의 라운드가 필요하므로 r ( 62735814 ) = 4 입니다.$r(62735814)$$1$$6273584$$234$$6758$$5$$678$$678$$r(62735814) = 4$

이 표현이 62735814 정렬에 어떻게 유용 합니까? 매초마다 234 , 678을 실행 하고이 숫자를 오른쪽으로 이동하여 51627384 를 얻 습니다 (편집 : 순열에 나타나는 순서, 즉 627384 ). 이제 두 개의 런, 즉 1234 , 5678 이 있으며 5678 을 오른쪽 으로 이동하여 목록을 정렬 할 수 있습니다 .$62735814$$234,678$$51627384$$627384$$1234,5678$$5678$

이제 다음과 같은 추측을 하겠습니다 . 순열 π의 경우 Π 는 한 번의 이동으로 π 에서 도달 할 수있는 모든 순열의 집합입니다 . 그런 다음 min α ∈ Π r ( α ) = ⌈ r ( π ) / 2 ⌉ 입니다.$\pi$$\Pi$$\pi$$\min_{\alpha \in \Pi} r(\alpha) = \lceil r(\pi)/2 \rceil$

이러한 추측을 고려하면 순열 π 를 정렬하는 데 필요한 최소 이동 횟수 가 ⌈ log 2 r ( π ) ⌉임을 쉽게 알 수 있으며 , n ≤ 8에 대해 S n의 모든 순열에 대해이 공식을 확인했습니다 .$\pi$$\lceil \log_2 r(\pi) \rceil$$S_n$$n \leq 8$

편집 : 여기 에 계산을위한 선형 시간 알고리즘을 제공하고 추측의 증거를 스케치 할 수 있는 실행 파티션 번호에 대한 다른 해석이 있습니다. 따라서 공식 ⌈ log 2 r ( π ) ⌉ .$\lceil \log_2 r(\pi) \rceil$

순열 62735814를 다시 고려 하십시오. 첫 번째 실행이 1 로 끝나는 이유 는 2 가 1 앞에 있기 때문 입니다. 마찬가지로 5 가 4 앞에 나타나기 때문에 두 번째 런은 4로 끝 납니다 . 따라서 순열의 실행 파티션 번호의 수 난 의 그런 내가 + 1 개 전에 나타납니다 내가 .$62735814$$1$$2$$1$$4$$5$$4$$i$$i+1$$i$

순열의 역수를 보면 이것을 간결하게 말할 수 있습니다. π = 62735814를 다시 고려하십시오 . π − 1 = 72485136을 취하십시오 . 이 순열에는 세 개의 하강이 있습니다 : 7 2 48 5 1 36 (하강은 앞의 것보다 작은 위치입니다). 각 하강은 새로운 런의 시작에 해당합니다. 따라서 r ( π ) 는 1 에 π - 1 의 하강 수를 더한 값과 같습니다 .$\pi = 62735814$$\pi^{-1} = 72485136$$7\mathbf{2}48\mathbf{5}\mathbf{1}36$$r(\pi)$$\pi^{-1}$

연산은 π - 1 과 관련하여 어떤 모양 입니까? 하자 B는 우리가 오른쪽으로 이동하는 것이 일련의 숫자, 그리고 A가 숫자들의 집합 왼쪽에 머무는 것을. A 의 숫자 를 { 1 , … , | A | } 는 상대 순서를 나타내며 B 의 숫자 를 { | A | + 1 , … , | A | + | B | $\pi^{-1}$$B$$A$$A$$\{1,\ldots,|A|\}$$B$$\{|A|+1,\ldots,|A|+|B|\}$. 예를 들어 이동 6273 5 8 1 4 ↦ 51 627384를 고려하십시오 . 역 순열의 경우 7 248 5 136 ↦ 2 468 1 357 입니다. 그래서 75 에 매핑 된 (21) 와 248,136이 매핑 된 468,357 .$\mathbf{6273}5\mathbf{8}1\mathbf{4} \mapsto 51\mathbf{627384}$$7\mathbf{248}5\mathbf{136} \mapsto 2\mathbf{468}1\mathbf{357}$$75$$21$$248136$$468357$

하강 ... X , Y ... 의 π - 1 동작하는 경우에만 후 손실 X ∈ 및 Y ∈ B . 반대로, π - 1의 관점에서 , A 및 B 로의 구획 은 A- 런 및 B- 런에 대응하고 ; B- 런이 끝나고 A- 런이 시작될 때마다 하강이 있습니다. 하강을 "죽이기"위해서는 A- 런에서 B 로 전환해야합니다$\ldots xy \ldots$$\pi^{-1}$$x \in A$$y \in B$$\pi^{-1}$$A$$B$$A$$B$$B$$A$$A$$B$-운영. 우리가 두 개의 강하를 죽이면 중간에 B- run에서 A- run으로 전환되어 하강을 일으킬 것입니다.$B$$A$

이 인수는 α 가 연산을 통해 π 에서 발생 하는 경우 d ( α - 1 ) ≥ ⌊ d ( π - 1 ) / 2 ⌋ 를 나타내도록 공식화 할 수 있습니다 . 여기서 d ( ⋅ ) 는 하강 횟수입니다. 이것은 r ( α ) ≥ ⌈ r ( π ) / 2 $\alpha$$\pi$$d(\alpha^{-1}) \geq \lfloor d(\pi^{-1})/2 \rfloor$$d(\cdot)$$r(\alpha) \geq \lceil r(\pi)/2 \rceil$, thus proving one direction of my conjecture. The other direction is easier, and was already outlined above: we simply take every second run and push these runs to the right to get a permutation $\alpha$ satisfying $r(\alpha) = \lceil r(\pi/2) \rceil$.