큰

먼저, 명시적인 것을 만들기 위해 big 의 정의를 작성하겠습니다 . $O$

이되도록 $f(n)\in O(g(n))\iff \exists c, n_0\gt 0$ $0\le f(n)\le cg(n), \forall n\ge n_0$

유한 한 수의 함수가 있다고 가정 해 봅시다 : 만족 : $f_1,f_2,\dots f_n$

$O(f_1)\subseteq O(f_2)\dots \subseteq O(f_n)$

전이성에 의해 , 우리는 다음을 가진다 : $O$ $O(f_1)\subseteq O(f_n)$

우리가 무한 사슬을 가지고 있다면 이것은 유지됩니까 ? 즉, $O's$ $O(f_1) \subseteq O(f_\infty)$ ?

무슨 일이 일어나고 있는지 상상하는 데 어려움이 있습니다.

asymptotics landau-notation

— Saadtaame
소스

답변:

우리는 먼저 "무한 체인을 가지고 있다면 이것이 유지 되는가?"라는 말의 의미를 분명히해야합니다. 우리는 함수의 무한한 순서로 해석 이러한 모든 것을 우리가 $\{f_i:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \mid 1\leq i\}$ $i$ $f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$ . 이러한 시퀀스에는 마지막 기능이 없을 수 있습니다.

시퀀스에서 함수의 한계, 즉 있습니다. 그러나 한계가 존재하지 않을 수 있습니다. 그리고 심지어는 경우가 존재한다는 것을 우리가이 없을 수도 있습니다 . 예를 들어, 기능의 시퀀스를 고려할 $f_\infty(n) = \lim_{i\to \infty} f_i(n)$ $f_1(n) = O(f_\infty(n))$ . 각, 따라서. 그러나 따라서 $f_i(n) = \frac{n}{i}$ $i$ $f_i(n)=\Theta(n)$ $f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$ $f_\infty(n)=\lim_{i\to\infty}f_i(n)=0=\Theta(1)$ . $f_1(n) \neq O(f_\infty(n))$

반면에 우리는 함수의 한계 클래스와 같을 필요는없는 클래스의 시퀀스 한계를 볼 수 있습니다 . 우리가 , 따라서, 및 $f_i \in \mathcal O(f_{i+1})$ $\mathcal O(f_i) \subseteq \mathcal O(f_{i+1})$ 모든 . 우수한 한도는 모든 요소 (기능이 경우) 무한히 자주 발생 열등한 한계 모두에서 발생하는 모든 요소를 포함 포함 일부 $f_j \in \lim_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \limsup_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \liminf_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}\bigcap_{k>n}\mathcal O(f_k)$ $j$ $\mathcal O(f_i), i \ge n_0$ $n_0$ (요소에 따라 다를 수 있음). 클래스의 순서는 단조 증가하기 때문에 존재하고 모두 동일합니다. 이것은 의 사용법을 정당화합니다 . $\lim$

— frafl
소스

함수 중 하나 (수렴 또는 비 수렴)와 세트 중 하나 (각 세트는 이전 세트의 수퍼 세트입니다.이 시리즈는 세트에 대한 lim inf 및 lim sup의 정의 참조)라는 두 가지 시리즈가 있습니다. . 첫 번째 부분은

부분이 없는 질문에 답하고 , 두 번째 부분은

부분에 부정적으로 답합니다 (

가 일종의 라임 인 경우).

f_{\infty}

$f_\infty$

f_{\infty}

$f_\infty$

f_{\infty}

$f_\infty$

— frafl

용어의 수가 셀 수없는 경우 어떻게합니까? :)

— SamM

잘 정리 된 것을 사용하거나 시리즈를 더 연속적인 것으로 바꾸시겠습니까? :)

— frafl 2019

@Kaveh 정말 고마워요. 한계의 사용과 그 의미가 무엇을 의미하는지 정당화 할 수 있다면 그것은 나의 이해를 완성시킬 것입니다.

— saadtaame

@saadtaame : 아마도 위의 질문이 여전히 당신이 알고 싶은 것을 묻지 않기 때문일 수 있습니다. 내가 올바르게 기억한다면 , 의견으로 인해

를 추가 했습니다. 컨텍스트를 제공하면 누군가가 질문을 다시 표현할 수 있습니다.

f_{\infty}

$f_\infty$

— frafl

예, 무한 체인을 가질 수 있습니다.

나는 당신이 이미 몇 가지 예에 익숙하다고 확신합니다 : 여기에는 무한 사슬이 있습니다. 더 나아갈 수 있습니까? 확실한! 지수는 다항식보다 빠르게 증가합니다 (무증상으로).

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (x^{42}) \subseteq \dots

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots$

물론 계속 진행할 수 있습니다 :

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (x^{42}) \subseteq \dots O (e^{x})

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots O(e^x)$

O (e^{x}) \subseteq O (x e^{x}) \subseteq O (e^{2 x}) \subseteq O (e^{e^{x}}) \subseteq \dots

$O(\mathrm{e}^x) \subseteq O(x\,\mathrm{e}^x) \subseteq O(\mathrm{e}^{2x}) \subseteq O(\mathrm{e}^{\mathrm{e}^x}) \subseteq \ldots$

다른 방향으로 무한 체인을 만들 수도 있습니다. 만약 후 $f = O(g)$ (여기서 우리는 복잡한 함수의 무증상을 논의하기 때문에 긍정적 인 함수를 고수합니다). 예를 들어 다음과 같습니다. $\dfrac{1}{g} = O\left(\dfrac{1}{f}\right)$

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (\frac{e^{x}}{x^{2}}) \subseteq O (\frac{e^{x}}{x}) \subseteq O (e^{x})

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x^2}\right) \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x}\right) \subseteq O(e^x)$

$f_1, \ldots, f_n$ $f_\infty$ $f_i$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{R}_+$ $f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$ $\{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$

f_{\infty} (x) = max {f_{n} (x) ∣ 1 \leq n \leq N} if N \leq x < N + 1

$f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid 1 \le n \le N \} \qquad \text{if $N \le x \lt N+1$}$

N

$N$

f_{N} \in O (f_{\infty})

$f_N \in O(f_\infty)$

\forall x \geq N, f_{\infty} (x) \geq f_{N} (x)

$\forall x \ge N, f_\infty(x) \ge f_N(x)$

f_{\infty} = o (f_{\infty}^{'})

$f_\infty = o(f_\infty')$

f_{\infty}^{'} (x) = x \cdot (1 + f_{\infty} (x))

$f_\infty'(x) = x \cdot (1 + f_\infty(x))$

— 질 'SO- 악마 그만해'
소스

이 모든 답변 (귀하의 답변과 다른 답변)은 우리가 무한대로 일어나는 일을 알고 있다고 가정하고 만족스럽지 않습니다 .OP에 대해 모르겠습니다 (무한한 규모의 그룹을 폐쇄해서는 안되는 이유) ?)

@SaeedAmiri 죄송 합니다만, 귀하의 의견을 이해하지 못합니다 : "무한에서 일어나는 일을 알고 있습니다. 그들은 저에게 만족스럽지 않습니다"?

— Gilles 'SO- 악마 그만해'