독특한 사각형 타일

우리는 타일에 원하는 : 타일의 두 가지 유형 사용 -square -square 타일 모든 기본 사각형이 중복없이 적용되도록 -square 타일. -squares 및 -squares의 수를 사용하여 고유하게 경작 가능한 가장 큰 사각형의 크기를 제공 하는 함수 을 정의합시다 .$m\times m$$1 \times 1$$2 \times 2$$f(n)$$n$ $1\times 1$$2 \times 2$

이 기능은 계산 가능합니까? 알고리즘은 무엇입니까?

EDIT1 : Steven의 대답에 따라 고유 한 타일링 은 m \ times m -square 내부에 $2 \times 2$ -squares를 n \ n \ s squares 내부의 위치에 대해 고유 한 구성 으로 배치하는 한 가지 방법이 있음을 의미합니다 . m \ times m- 스퀘어.$m \times m$$n$ $1 \times 1$$m \times m$

다음은 제곱이 아닌 대해 고유 한 타일링이 존재하지 않는다는 의견에서 내 추측을 입증하는 주장 입니다. 먼저 Sasho가 주석에서 언급했듯이 또는 경우 이러한 타일링이 없으므로 은 제한되어야합니다 . 경우 완벽한 정사각형이고 다음 분명 있도록 사각형 고유 한 tileable 인 명확하게 이러한 경우에는 비 - 제로 정의된다. 인수를 완료하기 위해서는 개 이상의 타일을 포함하는 타일링 이 고유 하지 않음을 보여줍니다 .$n\gt 5$$n$$n\equiv2$$3\pmod 4$$n$$n=k^2$$k\times k$$f(n)$$1$$2\times 2$

먼저, 경우 고려 말 . 타일을 사용하여 square 의 타일링을 가지고 있다면 분명히 은 짝수 여야합니다 . ; 그런 다음 타일 의 타일링을 만든 다음 이들 중 개를 4 개의 타일 의 '블록'으로 대체하여 타일링을 구성 할 수 있습니다 . 이것은 다른 대체 항상 경우를 제외하고는 별개의 타일링으로 이어질 수 있음을 분명 또는 중 하나가 어디$n\equiv 0\pmod 4$$n=4k$$m\times m$$n\ 1\times 1$$m$$m=2j$$j\times j$$2\times2$$k$$1\times 1$$m=4, n=12$$m=4, n=4$$2\times 2$타일 ​​또는 하나의 '4 블록'이 남았습니다. 그러나 이러한 경우에는 등가가 아닌 다른 타일링이 있는데,이 타일은 모서리가 아닌 가장자리의 중간에 2s 타일을 배치합니다.$2\times 2$

마지막으로, , 특히 (및 로 가정하여 다음과 같은 인수를 수행하기 위해 사각형에 '충분한 공간이 부족합니다') ). 그런 다음 어떤 사각형 크기 이하 고유 한 tileable가 될 수있는 기와 고려 여분의 타일 광장의 상단에와 사각형의 오른쪽 아래 ( 타일 방금 오른쪽에 집어 넣었습니다. 인수에 영향을 미치지 않습니다. 이제 정사각형 왼쪽 상단 의 'block'(위에 2 개의 타일과 로 구성됨)$n\equiv 1\pmod 4$$n=4t+1$$t\gt 1$$(2t+1)^2$$1\times 1$$1\times 1$$2\times 3$$1\times 1$$2\times 2$타일을 아래에 배치)하여 '플립'하여 타일을 생성 한 타일과 반드시 ​​다른 타일을 만들 수 있습니다. 마지막으로 보다 큰 크기 의 제곱을 타일링 할 는 없습니다. 대해 크기의 제곱을 타일링한다고 가정합니다 . 비둘기 구멍 원리에 의해 우리는 사각형에 타일 이상을 넣을 수 없습니다. 즉 제곱 남음-그러나 , 이기 때문에 우리가 사용할 수있는 타일 ​​수입니다.$(2t+1)^2$$(2s+1)^2$$s\gt t$$s^2\ 2\times 2$$(2s+1)^2-4s^2 = 4s^2+4s+1-4s^2=4s+1$$s\gt t$$4s+1\gt 4t+1=n$$1\times 1$

따라서 존재하는 유일한 타일링은 타일을 전혀 사용하지 않는 타일이며 이 정사각형 일 경우 은 0이 아닙니다 (이 경우 ).$n\gt 5$$2\times 2$$f(n)$$n$$\sqrt{n}$