계산 가능한 기능보다 계산 불가능한 기능이 더 많은 이유는 무엇입니까?

저는 현재 알고리즘과 복잡성으로 책을 읽고 있습니다. 현재 계산 가능한 함수와 계산할 수없는 함수에 대해 읽고 있으며, 저의 저서에는 계산 가능한 것보다 계산할 수없는 더 많은 함수가 있다고 말하고 있습니다. 실제로 대다수는 계산할 수 없습니다. 어떤 의미에서 나는 직관적으로 받아 들일 수 있지만이 책은 공식적인 증거를 제시하지도 않고 주제에 대해 자세히 설명하지도 않습니다.

나는 증거를보고 여기 누군가가 그것에 대해 자세히 설명하고 / 계산 가능한 기능보다 계산할 수없는 기능이 더 많은 이유를 더 엄격하게 이해하고 싶었습니다.

은 countably 많은 계산 가능한 기능 :

각 계산 가능한 함수에는 하나 이상의 알고리즘이 있습니다. 각 알고리즘에는 유한 세트의 기호를 사용하는 유한 설명이 있습니다 (예 : 기호 사용하는 유한 이진 문자열) . 로 표시되는 유한 이진 문자열의 수 는 셀 수 있습니다 (즉, 자연수 의 수와 동일 ).$\{0,1\}$$\{0,1\}^*$$\mathsf{N}$

따라서 계산 가능한 기능 은 최대 개수 가 많을 수 있습니다 . 각 에 대해 상수 함수 가 계산 가능 하기 때문에 계산 가능한 많은 계산 가능 함수가 적어도 있습니다 .$c\in \{0,1\}^*$$f(x)=c$

다시 말해, 다음과 같은 관계가 있습니다.

• 계산 가능한 함수 세트
• 알고리즘 세트
• $\{0,1\}^*$ 에서 유한 스트링 세트 및$\{0,1\}$
• $\mathbb{N}$자연수 세트 인

반면에, 거기에 uncountably 문자열 (또는 자연수)에 비해 많은 기능. 함수 (또는 )은 각 입력에 대한 값을 지정합니다. 이러한 각 값은 다른 값과 독립적으로 선택할 수 있습니다. 따라서 가능한 기능이 있습니다. 자연수에 대한 함수의 수는 실수의 수와 같습니다.$f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$f:\{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$$\mathbb{N}^\mathbb{N}=2^\mathbb{N}$

셀 수없이 많은 함수 만 계산할 수 있기 때문에 대부분은 그렇지 않습니다. 실제로 계산할 수없는 함수의 수는 입니다.$2^{\mathbb{N}}$

이것을 직관적으로 그림으로 나타내려면 자연수와 실수 또는 유한 이진 문자열과 무한 이진 문자열에 대해 생각하십시오. 자연수와 유한 문자열보다 더 많은 실수와 무한 이진 문자열이 있습니다. 다시 말해 (이 사실에 대한 증거는 Cantor의 대각선 인수 및 카디널 산술 참조 ).$\mathbb{N} < 2^\mathbb{N}$

계산할 수없는 많은 부울 함수의 "명시 적"구성입니다. 하자 어떤 고정 된 비 계산 가능한 부울 함수가 될, 중단 문제의 특성 기능을 말한다. 함수 집합 각 는 계산할 수 없으며 는 계산할 수 없습니다.$K$

$$F = \{ f \colon \mathbb{N} \to \{0,1\} : \forall x \in \mathbb{N}, f(2x) = K(x) \}.$$ $f \in F$$F$

계산 가능한 기능을 가진 유사한 구조가 있습니다. 계산 가능한 함수 주어 ,하자 즉, 가 다르면 유한 한 값에 많은. 모든 함수 는 계산 가능합니다 (유사한 많은 차이를 하드 코딩). 이전 상황과 달리 는 셀 수 있습니다.$R$

$$G = \{ g \colon \mathbb{N} \to \{0,1\} : \exists n \in \mathbb{N} \forall m \geq n, g(m) = R(m). \}$$ $g \in G$$R$$G$$G$

따라서 계산 가능한 경우처럼 "잠재적 인"무한대가 아닌 실제 무한대 인 "무한대"의 자유도를 가지므로 계산할 수없는 함수가 많이 있습니다.