카테고리 이론의 의미는 아직 고차 함수를 처리하는 방법을 모르는 것입니까?

읽기에서 우다이 레디의 대답 에 SML에서 펑터 및 카테고리 이론 사이의 관계는 무엇입니까? 우데이 주

카테고리 이론은 아직 고차 함수를 다루는 방법을 모른다. 언젠가는 그럴 것이다.

카테고리 이론이 수학의 기초가 될 수 있다고 생각 했으므로 모든 수학 및 고차 함수를 도출 할 수 있어야합니다.

그렇다면 카테고리 이론이 의미하는 바는 아직 고차 함수를 처리하는 방법을 모르는 것입니까? 카테고리 이론을 수학의 기초로 간주하는 것이 타당합니까?

functional-programming category-theory

— 가이 코더
소스

이 토론은 cstheory.stackexchange.com 에 적합 합니다.

— Martin Berger

답변:

고차 함수의 문제는 간단하게 설명 할 수 있습니다.

와 같은 유형 생성자 는 펑터가 아닙니다. 그랬어 야 했어 $T(X) = [X \to X]$
와 같은 다형성 함수 는 자연 변환이 아닙니다. 그랬어 야 했어 ${\it twice}_X : T(X) \to T(X) = \lambda f.\, f \circ f$

Eilenberg와 MacLane의 원래 범주 이론 논문 (PDF) 을 읽으면 , 그것들이 제시하는 직관에 그러한 직관이 포함됩니다. 그러나 그들의 이론은 그렇지 않습니다. 그것들은 1945 년을위한 훌륭한 종이 였습니다! 그러나 오늘날에는 더 많은 것이 필요합니다.

이러한 문제에 대한 범주 이론가들의 반응은 약간 당혹 스럽다. 그들은 고차원의 작업이 컴퓨터 과학 아이디어를 형성하는 것처럼 행동합니다. 그것들은 수학에 아무런 영향을 미치지 않습니다. 그렇다면 수학의 기초는 컴퓨터 과학의 기초에 충분하지 않을 것입니다.

그러나 나는 그것을 심각하게 믿지 않습니다. 나는 고차 함수가 수학에도 매우 중요하다고 생각합니다. 그러나 그들은 심각하게 탐구되지 않았습니다. 언젠가 그것들이 탐구되고 카테고리 이론의 한계가 실현되기를 바랍니다.

— 우다이 레디
소스

고차원 대수, n- 카테고리 이론 등을 탐구 할 때의 깊이를 고려하여 고차 함수를 흥미롭게 생각하지 않는다는 것은 놀라운 일입니다. 비교하면, 고차 함수는 매우 복잡해 보입니다. 특히, 그 지구가 하스켈 프로그램과 관련이 있다면.

— Dave Clarke

@DaveClarke. 그들이보고 싶은 것은 Eilenberg와 MacLane이 시작하는 것과 같은 매력적인 예라고 생각합니다. 모든

차원 벡터 공간은 서로 동형이다. 따라서 벡터 공간은 자체 이중에 대해 동형입니다 :

. 그러나, 이러한 동형은 "자연적인"것이 아니다. (이들은 특정 염기를 사용합니다. "표현에 의존적"입니다.) 반면에 동 형사상

는 "천연"이며 모든 염기에 대해 동일한 방식으로 작동합니다. 카테고리 이론 2.0을 요청하려면 비슷한 킬러 예제가 필요합니다!

n

$n$

A ≅ A^{*}

$A \cong A^*$

A ≅ A^{* *}

$A \cong A^{**}$

— Uday Reddy

@DaveClarke. 정상적인 수학에서 일어나는 일은 수학자들이 고차원적인 것들을 1 차 구조로 매우 영리하게 줄인다는 것입니다. 예를 들어 위에서 언급 한 유형

는 단일체이며 곱셈은 1 차 연산입니다. 선형 대수를 기억하면 선형 변환

가 벡터 공간으로 바뀌고 모든 연산이 1 차가됩니다. 오토마타 이론 (컴퓨터 과학)은이 트릭이 효과가 없었던 첫 번째 장소 였을 것입니다. Eilenberg가 또 다른 10 년의 활동적인 삶을 살았다면 그는 그 문제에 착수했을 것입니다.

T (X)

$T(X)$

A \to B

$A \to B$

— Uday Reddy

+1 정말 흥미 롭습니다. 이러한 문제를 자세히 설명하는 참조 자료를 알고 있습니까?

— Kaveh

λ

$\lambda$

π

$\pi$

π

$\pi$

[이 두 번째 답변은 고차 함수를 올바르게 처리하는 "범주 이론 2.0"이 어떻게 보일지에 대한 개요를 제공합니다.]

우리는 고차 함수를 추론하는 방법을 오랫동안 알고있었습니다.

대수 구조가 고차 연산을 갖는 경우 동형이 작동하지 않습니다. 대신 논리적 관계 를 사용해야 합니다. 다시 말해, " 기능 보존 구조"에서 " 관계 보존 구조" 로 이동해야합니다 .
고차 유형에서 "균일 한"또는 "동시에 주어진"변형에 대해 이야기하면 자연이 작동하지 않습니다. 대신 관계형 파라 메트릭을 사용해야합니다 . 다시 말해, 우리는 "모든 형태를 보존하는 가족 "에서 "모든 논리적 관계를 보존하는 가족"으로 옮겨야합니다 .
$\to$

이러한 문제에 대한 빠른 소개는 도메인 및 Denortional 의미의 "관계 매개 변수"에 관한 Peter O'Hearn의 섹션 : 역사, 성과 및 공개 된 문제 (CiteSeerX)에 있습니다.

"범주 이론 2.0"을 구축하려는 첫 번째 시도는 O'Hearn and Tennent 's Parametricity and Local Variables (CiteSeerX) 입니다.
Brian Dunphy의 PhD 논문 : 반사 그래프 (CiteSeerX) 의 균일 성 개념으로서의 파라 메트릭은 프레임 워크를 기반으로하며 파라 메트릭 결과를 얻는 데 필요한 관계형 구조를 공리 화합니다. 모든 문제에 대한 좋은 개요를 얻기 위해 Dunphy의 논문을 추천합니다.
완전성을 기하기 위해, 클라우디오 에르 미다 (Claudio Hermida)의 박사 학위 논문 ( Fiberations, Logical Predicates and Indeterminates , PDF)에 대해서도 언급해야 합니다.

또한 상태 에 대한 추론은 고차 함수가 두드러지게 나타나는 곳 이라고 덧붙일 수 있습니다 . Automata 이론가들은 Automata의 제품과 다루는 문제 라는 역사적인 논문에서 동형이 제대로 작동하지 않는다는 것을 처음으로 인식했습니다 . 논리적 관계를 나타 내기 위해 "약한 동질성"및 "커버링 관계"와 같은 용어를 사용했습니다. 당연히, "시뮬레이션"및 "비 시뮬레이션"과 같은 용어가이를 지칭하기 위해 사용되었다. Davide Sangiorgi의 설문 조사 기사 : Bisimulation and Coinduction의 기원에 대해이 초기 역사와 그 이상을 모두 다룹니다.

관계 추론의 필요성은 상태, 특히 명령형 프로그래밍 에 대한 추론에서 반복적으로 발생 합니다 . 겸손한 "세미콜론"이 고차 작업이라는 사실을 아는 사람은 거의 없습니다. 따라서 고차 함수를 처리하는 방법을 모른 채 명령형 프로그램에 대해 생각할 수 없습니다. 우리는 수학이 모든 해답을 가지고 있다는 잘못된 믿음으로 국가와 명령 프로그래밍 문제를 계속 무시합니다. 따라서 수학자들이 상태를 이해하지 못한다면 좋지 않습니다! 더 이상 진실에서 멀어 질 수는 없습니다. 국가는 컴퓨터 과학의 핵심입니다. 우리는 사람들에게 국가를 다루는 방법을 보여줌으로써 일반적으로 과학을 발전시킬 것입니다!

— 우다이 레디
소스

@GuyCoder, 그게 좋은 생각이라고 생각합니다. 그건 그렇고, 나는이 질문과 그 질문이 이론 컴퓨터 과학 에도 주제가 될 것이라고 생각합니다.

— Kaveh

Uday와 논의한 후에는이 두 번째 답변에 대해 새로운 질문이 구체적으로 요구되지 않습니다. :)

— Guy Coder

국가는 상대 론적입니다.

— 쉘비 무어 III