이분 그래프에 대한 최소 정점 삭제가 NP-complete임을 보여줍니다

입력 인스턴스가 간단한 그래프 이고 자연 정수 인 다음 문제를 고려하십시오 . $G$ $k$

세트 있는가 하도록 양자과는 ? $S \subseteq V(G)$ $G - S$ $|S| \leq k$

3-SAT, -CLIQUE, -DOMINATING SET 또는 -VERTEX COVER를 줄임으로써이 문제가 임을 보여 드리고자합니다. $\rm{NP}$ $k$ $k$ $k$

3-COLORING 문제를 줄일 수 있다고 언급 했으므로 언급 한 문제 중 하나를 줄이는 방법 만 알면됩니다. 그러나 그것이 다소 지저분하기 때문에 누군가가 위에서 언급 한 문제를 우아하게 줄인 지 궁금합니다.

또한이 결정 문제의 이름이 있습니까?

complexity-theory np-complete reductions

— 제 레네
소스

홀수 사이클 횡단 .

— Pål GD

피드백 정점 설정 과 비슷해 보입니다 . 즉, 결과 그래프가 비 주기적 이도록 제거 할 정점의 최소 하위 집합을 찾으려고합니다. 비순환 그래프는 정의에 의해 이분 된 나무 (또는 숲)입니다.

— Nicholas Mancuso 2013

@NicholasMancuso 비슷하지 않습니다. 내가 위에서 말한 것처럼, 홀수 사이클 횡단 문제입니다. 또는 Vor가 지적한 것처럼, 70 년대와 80 년대에 Yannakakis에 의해 Bipartite 노드 (또는 정점) 삭제라고 불 렸습니다.

— Pål GD

@ PålGD, 동의합니다. 가장 쉬운 감소는 FVS에 의한 것이라고 생각했습니다. 그러나 홀수 사이클 횡단이라고 정의하면 불필요합니다.

— Nicholas Mancuso 2013

@Jernej : 당신이 말하는 "... 나는이 문제가 있음을 보여 드리고자 NP에 하나를 줄여 에 3-SAT의 K-CLIQUE ...". " 3-SAT, k-CLIQUE, ... 에서 축소 를 사용 하여이 문제가 NP-hard 라는 것을 보여주고 싶습니다 "? (그래프가 이분자인지 테스트하는 것은 선형 시간으로 수행 될 수 있기 때문에 문제는 NP에 분명히 있습니다)

— Vor

문제는 노드 삭제 문제 라는 이름의 광범위한 문제의 특수한 경우입니다 .

JM Lewis와 M. Yannakakis, "유전 특성에 대한 노드 삭제 문제는 NP- 완료"

$\Pi$ $G$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$

귀하의 문제는 bipartiteness 에 대한 노드 삭제 문제 이지만 Pal이 지적한 바와 같이 오늘날 OTC ( Odd cycle traversal ) 문제 로 알려져 있습니다 .

편집하다

직접 축소와 관련하여 나는 이것을 3SAT에서 생각했습니다.

$n$ $m$ $x_i, \overline{x_i}$ $n+1$ $x_i$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $n$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $C_j$ $C_j$

$G$ $n$

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

— 보어
소스

이것은 실제로 질문에 대한 답변이 아닙니다. OP는 주어진 문제를 사용하여 명시 적으로 줄이려고합니다. 또한이 문제는 오늘날 홀수주기 횡단으로 알려져 있습니다.

— Pål GD

@ PålGD : 네 말이 맞아.

— Vor

그래, 그러나 OP의 문제 목록에서 즉시 감소를 볼 수는 없지만 Yannakakis가 언급 한 것만 알고 있습니다.

— Pål GD

@ PålGD : 나는 다른 감축에 대해 생각할 것이지만, 솔직히 말해서 OP가 정확히 무엇을 원하는지 확신하지 못합니다 (위의 내 의견 참조).

— Vor

@Vor 내가 원하는 것은 언급 된 문제 중 하나에서 간단한 것으로 축소하는 것입니다. 이 기사는 나에게 알려져 있지만 오히려 가장 직접적인 축소를 찾고 있습니다.

— Jernej