요소가 변경 될 때 역행렬 계산

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$n \times n$ 행렬 주어 $\mathbf{A}$ 집니다. 의 역행렬하자 $\mathbf{A}$ 될 (이다 ). 에서 그 하나 개의 요소 가정 (의 말을하자 변경 에 ). 이 변경 후 목표는 을 찾는 것입니다 . 역행렬을 처음부터 다시 계산하는 것보다 효율적인이 목표를 찾는 방법이 있습니까? $\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$ $\mathbf{A}$ $a _{ij}$ $a' _{ij}$ $\mathbf{A}^{-1}$

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— 에이 제드
소스

훌륭한 답변 :이 문제를 해결하는 다음과 같은 논문을 발견했습니다 : Sankowski, Piotr. "동적 행렬 역을 통한 동적 전이 폐쇄." 컴퓨터 과학의 기초, 2004. 절차. 45 번째 연례 IEEE 심포지엄 IEEE, 2004.

— AJed

논문이 어떤 식 으로든 문제에 답하거나 문제를 해결했다면 답을 추가해도됩니다! :) 결국, 코멘트는 언제든지 삭제 될 수 있습니다.

— Juho

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셔먼 - 모리슨 공식은 도움이 될 수 :

(ㅏ + 유 V^{티})^{- 1} = ㅏ^{- 1} - \frac{ㅏ^{- 1} 유 V^{티} ㅏ^{- 1}}{1 + V^{티} ㅏ^{- 1} 유} .

$(A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1} uv^T A^{-1}}{1 + v^T A^{-1} u}.$

하자 및 , 표준 기준 열 벡터이다. 업데이트 된 매트릭스 인 경우 해당 확인할 수 다음 $u = (a'_{ij}-a_{ij}) e_i$ $v = e_j$ $e_i$ $A'$

ㅏ^{' - 1} = ㅏ^{- 1} - \frac{(ㅏ_{나는 제이}^{'} - ㅏ_{나는 제이}) ㅏ_{나는 \to}^{- 1} ㅏ_{↓ 제이}^{- 1 티}}{1 + (ㅏ_{나는 제이}^{'} - ㅏ_{나는 제이}) ㅏ_{나는 제이}^{- 1}} .

$A^{\prime -1} = A^{-1} - \frac{(a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{i\rightarrow} A^{-1T}_{\downarrow j}}{1 + (a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{ij}}.$

— 유발 필름 러스
소스

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$A$ $A^{-1}$

$\delta = a_{ij}' - a_{ij}$ $a_{ij}$ $e_i$ $i$

(ㅏ + {이자형}_{나는} δ {이자형}_{제이}^{⊤}) ㅏ^{- 1} = 나는 + {이자형}_{나는} δ {이자형}_{제이}^{⊤} ㅏ^{- 1}

$(A + e_i \delta e_j^\top )A^{-1} = I + e_i \delta e_j^\top A^{-1}$

$e_i \delta e_j^\top$ $\delta$ $ij$ $A^{-1}$ $A^{-1}$

ㅏ^{- 1} (ㅏ + {이자형}_{나는} δ {이자형}_{제이}^{⊤}) = 나는 + ㅏ^{- 1} {이자형}_{나는} δ {이자형}_{제이}^{⊤}

$A^{-1}(A + e_i \delta e_j^\top ) = I + A^{-1}e_i \delta e_j^\top$

$A^{-1}$

— 아담 W
소스

좋은 대답이지만 Yuval의 이전 버전과 다른 점은 무엇입니까?

— AJed

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A^{- 1}

$A^{-1}$