베타 확장의 합류

하자 될 에서 - 환원 -calculus. -expansion 를 정의하십시오 . $\to_\beta$ $\beta$ $\lambda$ $\beta$ $\leftarrow_\beta$ $t'\leftarrow_\beta t \iff t\to_\beta t'$

가 합류는? 즉, 에 대해 이면 와 같은 가 있습니다. ? $\leftarrow_\beta$ $l,d,r$ $l \to_\beta^* d\leftarrow_\beta^* r$ $u$ $l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$

키워드 : 상향 합류, 거꾸로 CR 속성

나는 더 약한 속성 인 로컬 합류 (즉, 이면 )를 . 이것이 사실 이더라도 -expansion이 종료되지 않기 때문에 합류를 암시하지는 않지만 장애물을 이해하는 데 도움이 될 것이라고 생각했습니다. $l \to_\beta d\leftarrow_\beta r$ $l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$ $\beta$

(맨 위) 두 축소가 모두 최상위 수준 인 경우 가설은 . 최대 -renaming까지, 우리는 라고 가정 할 수 있으며, 이나 는이 용어에서 자유롭지 않다고 가정 할 수 있습니다 . $(\lambda x_1.b_1)a_1\rightarrow b_1[a_1/x_1]=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ $\alpha$ $x_1\not =x_2$ $x_1$ $x_2$

(던지기) 하면 무료 아니다 우리가 따라서이 . $x_1$ $b_1$ $b_1=b_2[a_2/x_2]$ $(\lambda x_1.b_1)a_1=(\lambda x_1.b_2[a_2/x_2])a_1\leftarrow(\lambda x_1.(\lambda x_2.b_2)a_2)a_1\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$

사례 (Top)에 대한 유도 ( 및 ) 에 의한 순진한 증거 는 다음과 같습니다. $b_1$ $b_2$

경우 변수의입니다 , $b_1$ $y_1$
- 경우 , 가설된다 , 우리는이 사실 . $y_1=x_1$ $(\lambda x_1.x_1)a_1\rightarrow a_1=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ $(\lambda x_1.x_1)a_1=(\lambda x_1.x_1)(b_2[a_2/x_2])\leftarrow (\lambda x_1.x_1)((\lambda x_2.b_2)a_2)\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$
- 경우 , 우리는 단순히 (던져)를 사용할 수 있습니다. $y_1\not=x_1$
가 변수 인 것과 동일한 증거가 적용됩니다 . $b_2$
들면 및 가설이된다 및 인덕션 가설 제공 되도록 되는 내포 그 . 불행히도 . (이것은 -reduction을 생각하게 만듭니다 .) $b_1=\lambda y.c_1$ $b_2=\lambda y.c_2$ $(\lambda x_1.\lambda y. c_1)a_1\rightarrow \lambda y.c_1[a_1/x_1]=\lambda y.c_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$ $d$ $(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow d\rightarrow (\lambda x_2.c_2)a_2$ $\lambda y.(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow \lambda y.d\rightarrow \lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2$ $\lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2\rightarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$ $\sigma$
응용 프로그램에서도 비슷한 문제가 발생합니다. 는 어디에 있지 않습니다. $\lambda$

lambda-calculus term-rewriting

— xavierm02
소스

@chi 착각하지 않으면 작동합니다.

(λ b . y b) y \leftarrow (λ a . (λ b . a b) y) y \to (λ a . a y) y

$(\lambda b.yb)y\leftarrow(\lambda a. (\lambda b. a b)y)y\rightarrow (\lambda a. a y)y$

— xavierm02

나는 당신이 그것에 대해 생각하고 몇 가지 반례를 보았을 때 혼란스러워 보이는 @chi에 다소 동의합니다. 그러나 실제로 ?

(λ x . x x y) y \to y y y \leftarrow (λ x . y x x) y

$(\lambda x.x\;x\;y)\;y \to y\;y\;y \leftarrow (\lambda x.y\;x\;x)\;y$

— Rodolphe Lepigre

그것이 사실이라면 나에게 편리하지만, 나는 조금 더 비관적입니다. 내 동료가 다음과 같은 말을했을 것 같지 않습니다. 같은 (교회) 정수를 계산하는 임의의 두 프로그램을 결합 할 수 있음을 의미합니다.

— xavierm02

대답은 '아니오. Barendregt의 연습 3.5.11은 Plotkin에 대한 반격 예제를 제공하지만 및 . 증거를 찾아 볼게요.

(λ x . b x (b c)) c

$(\lambda x. b x (b c)) c$

(λ x . x x) (b c)

$(\lambda x. x x) (b c)$

— Gilles 'SO- 악마 그만

나는 증거로 생각되는 것과 함께 반례를 답변으로 게시했지만 이해할 수없는 단계가 있습니다. 누군가 알아낼 수 있으면 답변을 게시하면 삭제하겠습니다.

— Gilles 'SO- 악마 그만

답변:

두 가지 반례는 다음과 같습니다.

$(\lambda x. b x (b c)) c$ 및 (Plotkin). $(\lambda x. x x) (b c)$
$(\lambda x. a (b x)) (c d)$ 및 (Van Oostrom). $a ((\lambda y. b (c y)) d)$

아래의 자세한 예는 Lambda Calculus : Syntax and Semantics by HP Barenredgt, 개정판 (1984), 연습 3.5.11 (vii)에 나와 있습니다. Plotkin (정확한 참조가 아님)에 기인합니다. 나는 Take Five : Easy Expansion Exercise (1996) [ Voltage van Oostrom]의 다른 반례에 대한 증거로 수정 된 불완전한 증거를 제시 한다 .

증명의 기초는 표준화 정리이며, 특정 형식의 베타 확장 만 고려할 수 있습니다. 직관적으로 말하면 표준 축소 는 모든 축소를 왼쪽에서 오른쪽으로 만드는 축소입니다. 보다 정확하게는, 감소는 비표준이며, 단계 이의 레 덱스가 이전 단계 의 레 덱스의 좌측에 대한 레 독스의 잔류 ; redex에 대한 "left"와 "right" 는 redex가 계약 될 때 제거 되는 의 위치에 의해 정의됩니다 . 표준화 정리는 이면 에서 표준 축소가 있음 을 나타 냅니다. $M_i$ $M_j$ $\lambda$ $M \rightarrow_\beta^* N$ $M$ $N$

이고 이라고하자 . 두 가지 용어 모두 한 단계 로 로 줄어 듭니다 . $L = (\lambda x. b x (b c)) c$ $R = (\lambda x. x x) (b c)$ $b c (b c)$

과 같은 공통 조상 가 있다고 가정합니다 . 표준화 정리 덕분에 두 감소가 모두 표준이라고 가정 할 수 있습니다. 일반성을 잃지 않고 가 이러한 감소가 다른 첫 번째 단계 라고 가정하십시오 . 이 두 감소 중에서 첫 단계의 redex가 다른 쪽의 왼쪽에있는 것으로하고 쓰십시오 여기서 은이 수축의 맥락입니다. 은 redex입니다. 다른 감소로 보자 . $A$ $L \leftarrow_\beta^* A \rightarrow_\beta^* R$ $A$ $\sigma$ $A = C_1[(\lambda z. M) N]$ $C_1$ $(\lambda z. M) N$ $\tau$

는 표준이고 첫 번째 단계는 의 구멍 오른쪽에 있기 때문에 이나 왼쪽 에서 수축 할 수 없습니다 . 따라서 최종 용어 양식이다 의 부분 및 그들의 구멍의 왼쪽이 동일, 및 입니다. 이후 에서 감소시킴으로써 시작 상기 좌측 줄이고 결코 최종 기간은 형태이어야 의 위치를 부분 $\tau$ $C_1$ $C_1$ $\tau$ $C_2[(\lambda z. M') N']$ $C_1$ $C_2$ $M \rightarrow_\beta^* M'$ $N \rightarrow_\beta^* N'$ $\sigma$ $C_1$ $C_3[S]$ $C_3$ 구멍의 왼쪽에있는 및 의 왼쪽 부분 과 합니다. $C_1$ $C_2$ $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* S$

과 각각 에는 최상위 수준에서 응용 연산자 왼쪽에 단일 람다가 포함되어 있습니다. 는 의 람다를 보존 하기 때문에 ,이 람다는 또는 이 의 최종 항 중 어느 하나 이고,이 항에서 감소에 의해 적용의 인수가 얻어진다 . redex는 최상위 수준에 있으며 이는 입니다. $L$ $R$ $\tau$ $\lambda z. M$ $L$ $R$ $\tau$ $N$ $C_1 = C_2 = C_3 = []$

만약 만료 , 다음 , 및 . 경우 있는 하위 갖는 다음이 자손은 또한 줄여야 의 정상적인 형태 . 특히, 어떠한 하위 람다는 그렇게 할 수 없다 형태의 수축 subterm 수 의 하위 . 감소하는 의 유일한 하위 항 이후 $\tau$ $R$ $M \rightarrow_\beta^* z z$ $N \rightarrow_\beta^* b c$ $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. b x (b c)) c$ $N$ $L$ $b c$ $N$ $N$ $\sigma$ $\check{N} P$ $\check{N}$ $N$ $L$ $b c$ 인 , 유일한 가능한 하위 의 전적으로 발생 인 자체. $b c$ $N$ $L$ $b c$
만약 만료 , 다음 , 및 . 에 의 자손이 있으면 이 자손도 합류에 의해 로 감소해야합니다 . $\tau$ $L$ $M \rightarrow_\beta^* b z (b c)$ $N \rightarrow_\beta^* c$ $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. x x) (b c)$ $N$ $R$ $c$

이 시점에서 van Oostrom에 따르면 결론은 쉽게 따라야하지만 뭔가 빠졌습니다 의 자손을 추적하면 대한 정보를 얻는 방법을 알 수 없습니다 . 불완전한 게시물에 대한 사과, 나는 그것을 하룻밤 생각합니다. $N$ $M$

— 질 'SO- 악마 그만해'
소스

참고 - 환원 어떤 용어가 사라질 수 있습니다. 변수 가 용어 에서 자유롭지 않다고 가정하면 , 및 항에 대해 및 가 있습니다. 결과적으로, 역방향 사실 - 환원이 합류가이 다소 동등한 모든 용어 및 , 용어가 되도록 및 . 이것은 나에게 매우 잘못된 것 같습니다! $\beta$ $x$ $v$ $(\lambda x.v)\;t_1 \to_\beta v$ $(\lambda x.v)\;t_2 \to_\beta v$ $t_1$ $t_2$ $\beta$ $t_1$ $t_2$ $u$ $u \to_\beta^\ast t_1$ $u \to_\beta^\ast t_2$

— 로돌프 레 피그 르
소스

내가 실수하지 않는 한, 는이 두 용어에 대해 작동합니다.

(λ x . v) t_{1} \leftarrow (λ x . (λ x . v) t_{1}) t_{2} \to (λ x . v) t_{2}

$(\lambda x .v) t_1\leftarrow (\lambda x .(\lambda x .v) t_1)t_2\rightarrow (\lambda x .v) t_2$

— xavierm02

젠장, 네 말이 맞아! 나는 나중에 다른 것을 생각하려고 노력할 것이다. 나는 지금 시간이 없다.

— Rodolphe Lepigre