Merlin에 유효한 답변의 고유성을 요구하면 Arthur-Merlin 프로토콜의 성능이 제한됩니까?

전문.

복잡성 등급 AM 은 검증 자 "Merlin"과 검증 자 "Arthur"사이의 양방향 대화 형 증명 시스템으로 해결할 수있는 문제입니다. 다음과 같은 경우 객체 X 의 일부 속성을 테스트하는 문제 는 AM입니다 .

• 대한 찬성 (다항식 길이) 임의의 "도전"메시지의 경우, 아더는 멀린은 (다항식 길이)를 공식화 아서 증거로 사용할 수있는 회신 할 수 있습니다 높은 확률로 생성, X는 속성을 가지고;

• 의 경우 NO의 경우, 높은 확률 멀린과 아더가 생성하는 임의의 도전 메시지에 대해 테스트가 속성에 대한 증거로 사용될 수있는 모든 응답을 공식화 할 수없는 X을 .

— Merlin에게 높은 확률로뿐만 아니라 Arthur가 제기 할 수 있는 모든 도전에 대해 유용한 답변을 제공하도록 요구하는 경우 설명 된 수업은 변경되지 않습니다 . 우리는 우리가 할 수 항상 멀린의 답변을 요구하는이 경우에는 말할 수 유효 을위한 YES의 경우, 어떤 아서 테스트하는 답의 유효성입니다. 따라서 Merlin이 유효하지 않은 응답을 생성하면 Arthur는 문제 인스턴스가 NO 인스턴스 라는 것을 알고 있습니다. 이것이 내가 선호하는 설정입니다.

예를 들어 Graph Non-Isomorphism이 있습니다. 동일한 정점 레이블 집합을 가진 그래프 G 와 H 가 주어진 경우 Arthur는 그래프 중 하나를 임의로 선택 하고 정점 레이블을 치환 하여 "스크램블 된"버전 F 를 생성 하여 Merlin에 프레젠테이션을 보냅니다. . 두 그래프가 동형이 아닌 경우 Merlin은 F  ≅  G 또는 F  whether  H 인지 여부를 결정하여 Arthur가 선택한 G 또는 H 를 식별하고 두 F 중 어느 것이 동형 인지 식별하여 응답 할 수 있습니다 . 그러나 두 그래프 G 와 H 가 동형 인 경우 Merlin은 어떤 그래프를 구별 할 수 없습니다F 는 출신이며, 그가 제공 한 답변은 우연히 만 가능합니다. 따라서 YES 사례의 경우 Merlin은 항상 모든 챌린지에 유효한 응답을 보낼 수 있습니다. 에 대한 NO의 경우 멀린 높은 확률 무효로 될 것입니다 보낼 수있는 응답.

위의 문제에서 Merlin이 각 도전에 대해 Arthur에게 발행 할 수있는 유효한 응답이있을뿐만 아니라 실제로 고유 한 유효한 응답이 있습니다. 즉  , G 또는 H Arthur 중 어느 것이 어느 것이 F 와 동형인지 식별합니다 .

질문.

YES 인스턴스에 대해 Arthur가 전송할 수있는 모든 문제에 대해 Merlin에 대해 정확히 하나의 유효한 응답 이 있다는 제약 조건을 부과하는 것은 AM 과 동일하지 않은 클래스를 생성한다는 의미에서 더 제한적인 클래스를 생성 합니까?

Koiran의 논문 힐베르트 영점 정리가 다항식 계층에가 의 시스템 있음을 설정하기위한 공공 동전 아서 - 멀린 프로토콜을 제공 $m$ 에 대한 방정식 $n$ 미지수가있는 솔루션이 $\mathbb{C}^n$ 일반화 된 리만 가설에 파견. 여기 멀린 소수 발견 $p$ 와 $H(p)=0$ 일부 랜덤 해시 대한 $H$ 용액과 함께, $(a_0,a_1,\cdots, a_n)$ 의 각각 $m$ 방정식$\bmod p$ .

$\bmod p$$p$$\bmod p$$p$$p$

$p$$\mathbb{C}^n$$p$$a$$1-1/e$

따라서, 위의 문제에서 멀린이 각 도전에 대해 Arthur에게 발행 할 수있는 유효한 응답이있을뿐만 아니라 실제로 많은 유효한 응답 이있을 수 있습니다 .

솔루션을 사용하여 손쉬운 방정식 시스템을 구별 하기 위해서는 소수 또는 단 하나의 p 를 갖는 하드 식의 하드 시스템에서 많은 $p$ 를 모듈화 하면 방정식 시스템의 Galois 그룹의 속성을 결정해야합니다.$p$