의 확률에 대한 영향

나는 " P 대 NP 공식적으로 독립인가? "를 읽고 있었지만 당황했습니다.

라는 복잡한 이론이 널리 알려져 있습니다. 내 질문은 이것이 가능하지 않은 경우 ( )에 관한 것입니다. ( 는 독립적 이지만 이것이 어떻게 증명되는지에 대한 추가 정보는 없다고 가정합니다.) Z F C P ≠ N P Z F $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$ZFC$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$ZFC$

이 진술의 의미는 무엇입니까? 더 구체적으로,

경도

가정하면 효율적인 알고리즘 (캡처 Cobham의-에드먼즈 논문 )와 , 우리는 증명 결과는 그들이 것을 의미하는 효율적인 알고리즘의 현재 범위를 넘어서는 분리를 증명하면 는 다항식 시간 알고리즘이 없음을 의미합니다. 그러나 결과는 분리가 불가능한 경우 어떤 의미입니까? 이 결과는 어떻게됩니까?$\mathsf{P}$N P - h a r d n e s s N P - h a r d n e s s N P - h a r d n e s $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{NP\text{-}hardness }$$\mathsf{NP\text{-}hardness}$$\mathsf{NP\text{-}hardness }$

효율적인 알고리즘

분리가 불가능하다는 것은 효율적인 알고리즘에 대한 정의를 변경해야한다는 의미입니까?

"P = NP가 공식적으로 강력한 공리 시스템과 독립적이라는 증거의 발견에 의해 복잡성 이론이 어떻게 영향을 받는가?"

초록에서, 즉 증명의 세부 사항을 보지 않고서도이 질문에 대답하기는 조금 어렵습니다. Aaronson이 그의 논문에서 언급했듯이, P = NP의 독립성을 증명하려면 복잡성 이론뿐만 아니라 독립 진술을 증명하는 방법에 관한 근본적으로 새로운 아이디어가 필요합니다. 현재 우리가 추측 할 수없는 형태를 가진 획기적인 돌파구의 결과를 어떻게 예측할 수 있습니까?

여전히 우리가 할 수있는 몇 가지 관찰이 있습니다. ZFC (및 나중에 ZFC + 큰 추기경)에서 연속체 가설의 독립성을 증명 한 결과, 연속체 가설이 참 또는 거짓 이 아니라는 관점에서 상당수의 사람들이 찾아 왔습니다 . 우리는 사람들이 독립 증명을 통해 P = NP가 "참 또는 거짓이 아니라"는 결론에 도달 할 수 있는지를 물을 수있다. 추기경 공리). 내 추측은 그렇지 않다. 애런 슨은 기본적으로 그가하지 않을 것이라고 말합니다. Goedel의 두 번째 불완전 성 정리는 "ZFC는 일관성이있다"는 것이 사실도 거짓이 아니라고 주장하는 사람을 이끌지 못했습니다.진술과 대부분의 사람들은 산술 진술 또는 최소한 "P = NP"처럼 간단한 산술 진술은 참 또는 거짓이어야한다는 강한 직관을 가지고 있습니다. 독립 증명은 P = NP와 P ≠ NP 중 어느 것이 적합한 지 결정할 방법이 없다고 해석하는 것입니다 .$\ne$

또한 사람들이 P와 NP에 대한 우리의 정의에 "잘못된"것이 있다고 말하는 것으로이 상태를 해석 할 것인지 묻습니다. 아마도 우리는 복잡한 이론의 기초를 다루기에 더 다루기 쉬운 새로운 정의로 다시 바꿔야할까요? 이 시점에서 나는 우리가 거칠고 결실을 맺지 않은 추측의 영역에 있다고 생각합니다. 여기서 우리는 아직 가지지 않은 교량을 건너려고 시도하고 아직 깨지지 않은 것을 고치려고합니다. 또한, 어떤 것이라도이 시나리오에서 "깨지다". 세트 이론가들은 편리하다고 생각되는 큰 추기경 공리를 가정하면 완벽하게 행복합니다. 이와 유사하게,이 이론적 미래 세계에서 복잡도 이론가들은 아마도 그것이 불가능할지라도 비록 그들이 믿는다 고 생각되는 분리 공리를 가정한다면 완벽하게 행복 할 것이다.

간단히 말해서 P = NP의 독립 증명에서 논리적으로 따르는 것은 없습니다 . 복잡성 이론의 얼굴은 이러한 환상적인 돌파구에 비추어 급격히 변할 수 있지만, 돌파구가 어떻게 생겼는지 기다릴 필요가 있습니다.

불행히도 약간의 문구가 있지만 이것은 유효한 질문입니다. 내가 줄 수있는 가장 좋은 대답은 다음과 같습니다.

Scott Aaronson : P 대 NP는 공식적으로 독립적 입니다. 유럽 ​​이론 컴퓨터 과학 협회, 2003, vol. 81, 109-136 쪽.

초록 : 제목 질문에 대한 설문으로, 저자와 같이 논리를 일반적인 관심사에서 금지하고, 난해하며 먼 것으로 보는 사람들을 위해 작성되었습니다. Zermelo Fraenkel 세트 이론에 대한 충돌 코스로 시작하여 오라클 독립성에 대해 설명합니다. 자연적인 증거; Razborov, Raz, DeMillo-Lipton, Sazanov 등의 독립 결과; 강력한 논리 이론과 무관하게 P 대 NP를 증명하는 데 장애가됩니다. 수학적 질문이 확실한 답을 기대해야 할 때의 철학적 생각으로 끝납니다.

$[ZFC][1]$. 그것은 단지 이론이 진술이나 그 부정을 증명할 수 없다는 것을 의미합니다. 그것은 진술이 진실 가치를 가지고 있지 않다는 것을 의미하지 않으며, 우리가 진술의 진실 가치를 알 수 없다는 것을 의미하지는 않으며, 이론을 가능하게 할만큼 충분히 강건한 이론을 만들 수있을 것입니다. 진술이나 그 부정을 증명하기 위해. 결국 이론의 확률은 공식적인 추상 개념입니다. 실제 경험과 모델로만 관련이 있습니다.

$\mathsf{P}$

$\Sigma_1$$\Pi_1$논리를 통한 토폴로지 ", 1996.)

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\Sigma_2$FOM 메일 링리스트 에서 게시물을 검색하십시오 .

이 논문에서 입증 된 바와 같이 :

http://www.cs.technion.ac.il/users/wwwb/cgi-bin/tr-get.cgi/1991/CS/CS0699.revised.pdf

P! = NP가 Peano 산술과 독립적 인 것으로 보일 수 있다면, NP는 다항식 결정 론적 시간 상한에 매우 근접합니다. 특히 이러한 경우에는 무한히 많은 입력 길이 간격에서 SAT를 올바르게 계산하는 DTIME (n ^ 1og * (n)) 알고리즘이 있습니다.

이것에 대한 약간의 생각. 자유롭게 비판하십시오.

Q = [증명할 수 없으며 (P = NP) 증명할 수 없습니다 (P / = NP)]. 모순에 대해 Q를 가정하십시오. 또한 P 대 NP에 대한 알려진 모든 발견이 여전히 유효하다고 가정합니다. 특히 모든 NP 문제는 다항식 시간으로 그 중 하나를 해결할 수 있으면 다항식 시간으로 다른 모든 문제를 해결할 수 있다는 점에서 동일합니다. 따라서 W는 NP 완전한 문제가되어야합니다. W는 NP의 모든 문제를 동일하게 나타냅니다. Q 때문에, 다항식 시간에 W를 풀기위한 알고리즘 A를 얻을 수 없습니다. 그렇지 않으면 P = NP라는 증거가 있는데, 이는 Q (1) (*)과 모순됩니다. 모든 알고리즘은 정의에 따라 계산할 수 있습니다. 따라서 A가 존재할 수 없다는 것은 다항식 시간으로 W를 계산할 방법이 없음을 의미합니다. 그러나 이것은 Q (2)와 모순된다. 우리는 (1) xor 거부 (2)를 거부합니다. 두 경우 모두 경련이 발생합니다. 따라서 Q는 모순입니다.

(*) "아하! A가 존재할 수 있지만 찾을 수는 없습니다"라고 말할 수 있습니다. A가 존재하면 빈 프로그램부터 작은 프로그램에서 큰 프로그램으로 열거하여 A를 찾기 위해 모든 프로그램을 열거 할 수 있습니다. A는 알고리즘이므로 유한해야하므로 A가 있으면이를 찾는 열거 프로그램이 종료되어야합니다.