유전 클래스의 글로벌 속성?

유전 적 부류의 구조 (예 : 그래프)는 유도 된 하부 구조에서 닫히거나 정점 제거에서 닫히는 구조입니다.

미성년자를 배제하는 그래프 클래스에는 제외 된 특정 미성년자에 의존하지 않는 훌륭한 속성이 있습니다. 마틴 그로 헤 (Martin Grohe)는 마이너를 제외한 그래프 클래스에는 동형에 대한 다항식 알고리즘이 있으며, 카운트가있는 고정 소수점 논리는 이러한 그래프 클래스에 대한 다항식 시간을 캡처 함을 보여주었습니다. ( 소수자가 제외 된 그래프의 Grohe, 고정 소수점 정의 및 다항식 시간 , LICS, 2010) "전역"속성으로 생각할 수 있습니다.

유전 클래스 (그래프 또는보다 일반적인 구조)에 대해 알려진 "전역"속성이 있습니까?

각 답변이 하나의 특정 속성에만 집중되는 것을 보는 것이 좋습니다.

유전 적 특성은 다음과 같은 의미에서 매우 "견고합니다".

노가 아론 및 Asaf Shapira가 보였다 모든 유전 특성을 위해 그 그래프 경우, G는 더 이상 필요 ε N 2 에지를 추가하거나 만족시키기 위해 제거 될 P , 다음의 서브 그래프가 G 최대 크기, F P는 ( P를 만족하지 않는 ϵ ) . 여기서 함수 f 는 속성 P 에만 의존하고 ( 예를 들어 그래프 G 의 크기에는 의존 하지 않음 ) Erdős는 k- colorability 의 속성에 대해서만 그러한 추측을 했습니다.${\cal P}$$G$$\epsilon n^2$${\cal P}$$G$$f_{\cal P}(\epsilon)$${\cal P}$$f$${\cal P}$$G$$k$

실제로 알론 및 Shapira는 다음 강한 사실 증명 : 주어진 임의 위해 ε을 에 ( 0 , 1 ) , 거기에 N ( ε ) , H ( ε ) 과 δ ( ε ) 되도록 그래프 경우 G는 적어도 갖는 N을 정점과 필요 이상의 ε N 2 개 첨가가 / 만족시키기 위해 제거 에지 P 후 적어도 대해 δ 에 의한 서브 그래프 분획 시간 정점 유도 서브 그래프 위반${\cal P}$$\epsilon$$(0,1)$$N(\epsilon)$$h(\epsilon)$$\delta(\epsilon)$$G$$N$$\epsilon n^2$${\cal P}$$\delta$$h$ . 경우에 따라서, ε 및 속성 P를 테스트하기 위해, 고정 된 입력 그래프 만족하면 P는 또는이고 ε 만족로부터 -far P를 다음 중 하나에서만 그래프에서 일정한 크기의 임의의 유도 된 서브 그래프의 에지를 조회 할 필요가 있고 속성을 만족하는지 확인하십시오. 이러한 테스터는 항상 만족 그래프 받아들이 P를 그래프 거부 할 ε 일정한 확률을 만족로부터 -far. 또한 이런 의미에서 일방적 인 테스트가 가능한 재산은 유전 재산입니다! 자세한 내용은 Alon 및 Shapira의 논문을 참조하십시오.${\cal P}$$\epsilon$${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$

이것은 당신이 생각한 것이 아닐 수도 있지만 , 유전 적 그래프 클래스에있을 수있는 개의 정점 에 몇 개의 그래프가 있는지에 대한 알려진 제한 이 있습니다. 예를 들어, n 꼭짓점 에 2 Ω ( n ) ~ 2 o ( n log n ) 의 그래프를 갖는 유전 적 클래스의 그래프는 없습니다 .$n$$2^{\Omega(n)}$$2^{o(n\log{n})}$$n$

참고 문헌 : E. Scheinerman, J. Zito, 유전 적 그래프의 크기에 관한 논문, 조합 이론 저널 B 시리즈

이것은 Travis의 답변과 관련이 있습니다. 실제로 더 강력한 버전으로 간주 될 수 있습니다.

Bollob \ 'as와 Thomason (Combinatorica, 2000) 의 논문 은 Erd \ H {o} sR \'enyi 랜덤 그래프 ( 고정 상수 p ), 모든 유전 적 성질은 그것들에 의해 근사 될 수 있음을 보여준다 기본 속성을 호출하십시오 . 기본은 거의 그 정점 세트의 조합이다 그래프 의미 R의 클래스 이야 어느 범위의 파벌과 R - S는 아니지만 꽤있는 독립적 인 세트에 걸쳐있다. 이 근사치는 큰 크기 특성화하는 데 사용되는 P의 -set뿐 아니라 P 의 번호 -chromatic G N을 $G_{n,p}$$p$$r$$s$$r-s$$\mathcal{P}$$\mathcal{P}$ , P는 어떤 고정 된 유전 특성이다. p가 변하도록 허용 된경우, 동작은 잘 이해되지 않습니다.$G_{n,p}$$\mathcal{P}$$p$

이것과 관련 작업에 대한 더 많은 배경을 위해, Bollob ''s (ICM 1998의 절차)에 의한 설문 조사가 있는데 ,이 행을 따라 그러나 추론에 대한 유혹적인 추측을 제공합니다.

유전 적 특성과 Szem \ 'eredi 's Regularity Lemma 사이의 깊은 연관성은 여기와 Alon과 Shapira 결과에서 모두 사용 되었기 때문에 매우 흥미로 웠습니다.

AKR 추측에 대한 Suresh의 대답은 유전 적 특성에 대한 동일한 추측에 대해 생각하게했습니다. 나는 (실수하지 않은 한) 모든 사소한 유전 적 속성이 (무작위적이고 결정적인) 결정 트리 복잡도 가지고 있다는 것을 보여줄 수 있다고 생각합니다.이 속성은 그러한 속성에 대한 AKR 추측을 정합니다 (상수까지).$\Theta(n^2)$

나는 이것이 어딘가에 보여 졌는지 확인하기 위해 문헌을 검색하려고 시도했지만 참조를 찾을 수 없었습니다. 그래서 그것을 찾을 수 없었지만 존재하거나 정리가 흥미롭지 않거나 오류가 있습니다.

따라서 이것은 모든 유전 그래프 속성의 전역 속성에 대한 또 다른 예입니다.

Erdős–Hajnal 추측 에 따르면 , 모든 유전적인 가족은 그 그래프 가 가족에 의존하지만 그렇지 않은 일부 c > 0에 대한 다항식 크기의 독립된 집합 (즉, 을 가짐 ) 그래프). 이는 최대 크릭과 최대 독립 세트가 모두 로그인 랜덤 그래프와 대조적입니다.$\Omega(n^c)$$c>0$

이것은 "역방향"방향이지만 잘 알려진 Aanderaa-Rosenberg-Karp 추측 은 모노톤 위쪽 인 그래프 속성에 적용됩니다 (즉, G가 속성을 만족하는 경우 가장자리 집합에 E (G )).