Parity-L에서 CNOT 회로로의 로그 공간 축소?

질문.

논문 에서 안정기 회로의 개선 된 시뮬레이션 에서 Aaronson과 Gottesman은 CNOT 회로를 시뮬레이션하는 것이 (로그 스페이스 감소에서) 완전 하다고 주장했다 . 그것이 ⊕L에 포함되어 있음이 분명하다 . 경도 결과는 어떻게 유지됩니까?

동등하게 : 반복 행렬 곱 모듈로 2에서 기본 행렬 (행 변환을 실현하는 비가역 행렬) mod 2의 반복 곱으로 로그 스페이스 감소가 있습니까?

세부

제어용 NOT (또는 CNOT ) 연산의 형식은, 가역적 인 부울 연산 여기서j^번째비트 만 변경되고 해당 비트는임의의 개별 위치h및j에대해 modulo 2를 추가하여 변경됩니다. 해석하면보기가 어렵지 않습니다.

{C N O T}_{h, j} (x_{1}, \dots, x_{h}, \dots, x_{j}, \dots, x_{n}) = (x_{1}, \dots, x_{h}, \dots, x_{j} \oplus x_{h}, \dots, x_{n})

$\mathsf{CNOT}_{\!h,j} (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j\,, \;\ldots\;, x_n) \;\;=\;\; (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j \oplus x_h\,, \;\ldots\;, x_n)$

x_{h}

$x_h$

, ℤ / 2ℤ 위에 벡터로서 우리가 대각선 번의 오프 대각선 위치에 1S와 행렬 나타낼 수있는 엘리 멘터 로우 변환 모듈 (2)이 대응한다. CNOT 회로는다음이 어떤 유형의 기본 행렬의 곱으로 이루어진 행렬 제품이다.

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

$\mathbf x = (x_1\,, \;\ldots\;, x_n)$

위에서 언급 한 Aaronson과 Gottesman의 논문 ( 이 질문에 매우 부수적 으로 ⊕L 로 시뮬레이션 할 수있는 퀀텀 회로에 관한 논문 )에는 계산 복잡성에 대한 섹션이 있습니다. 이 섹션의 시작 부분에서 ⊕L 을 다음과 같이 설명 합니다.

⊕L [비]는 비 결정적 로그 공간 튜링 머신으로 해결할 수있는 모든 문제의 클래스로, 전체 수락 경로 수가 홀수 인 경우에만 허용됩니다. 그러나 컴퓨터 전문가가 아닌 사람들에게는 더 직관적 인 대체 정의가 있습니다. 이것은 ⊕L 이 다항식 크기의 CNOT 회로, 즉 NOT과 CNOT 게이트로 구성된 회로가 초기 상태 | 0 ... 0 on에 영향을 미치는 시뮬레이션을 줄이는 데 따르는 문제의 종류 라는 것입니다. (두 정의가 동일하다는 것을 쉽게 보여줄 수 있지만, 이것은 보통 정의가 무엇을 의미하는지 설명해야합니다!)

이 기사의 대상 독자는 상당수의 비 컴퓨터 과학자를 포함했기 때문에 제거하려는 소망은 불합리하지 않습니다. 나는 누군가가이 동등성에 어떤 영향을 미치는지 명확히 할 수 있기를 바라고 있습니다.

분명히, 이러한 행렬의 곱을 시뮬레이션하는 것은 수행 될 수 ⊕L 대한 반복 된 매트릭스 제품의 계수 (LOGSPACE 감소 하에서) 전체 문제 MOD (2) 평가의 특별한 경우로서 ⊕L . 또한, CNOT 매트릭스는 단지 기본 행 연산을 수행하기 때문에, 모든 비가역 매트릭스는 CNOT 매트릭스의 곱으로서 분해 될 수있다. 그러나 로그 공간 축소에 의해 가역 행렬 mod 2조차도 CNOT 행렬의 곱으로 분해하는 방법이 명확하지 않습니다 . 코멘트에 에밀 예라 벡에 의해 언급 한 바와 같이 (실제로, 컴퓨팅 결정에 가우스 소거법의 접미사는 인 2 모드 ⊕L - 완전한 문제가 : 분해에 의해 직접 공격 때문에 예를 들어,L = ⊕L이 아니면 기본 행렬의 곱으로서의 거꾸로 된 행렬은 로그 공간에서 실현 가능하지 않은 것 같습니다 . 따라서 일부 영리한 축소가 필요한 것 같습니다.

누군가이 축소의 스케치 또는 참조를 제공 할 수 있기를 바랍니다 ( 예 : 간단한 경우 연습이되는 텍스트).

— 닐 드 보드 랩
소스

계산 결정자 mod

도 ⊕L- 완전하다고 가정 하므로 가우시안 제거 mod

는 hardL-hard입니다.

2

$2$

2

$2$

— Emil Jeřábek는 Monica를 지원합니다.

@ EmilJeřábek : 나는 당신의 말에 대해 생각하고 있으며, 이것이 L = ⊕L이 아니라면 CNOT 회로 시뮬레이션이 ⊕L에 대해 완벽 하지 않다는 것을 즉시 암시하려고합니다 . (한 행렬의 곱 또는 항등 행렬이있는 단일 행렬의 곱을 고려하십시오!) 이것은 너무 쉬운 것 같습니다. 뭔가 빠졌습니까? 아마도 그것이 일대일 축소를 배제한다고 생각합니다.

— Niel de Beaudrap

나는 그렇게 쉬운 생각하지 않습니다. ⊕L은 의사 결정 문제의 클래스이며, F_2에 대한 행렬 곱셈은 함수 문제입니다. 행렬 곱셈의 ⊕L 버전은 결과의 특정 비트 (예 : 행렬의 왼쪽 상단 항목)를 요청하는 것입니다. 행렬 시퀀스를 취하고 일련의 기본 행렬을 생성하여 두 시퀀스의 곱이 동일한 왼쪽 상단 요소를 갖도록하는 로그 공간 알고리즘이있을 수 있습니까? 이것은 실제 가우시안 제거보다 훨씬 약합니다. 실제로, Aaronson과 Gottesman은 그것을 증명하는 방법을 잘 모르겠지만 나에게 그럴듯한 소리를 낸다고 주장합니다.

— Emil Jeřábek은 Monica를 지원합니다. Monica

@ EmilJeřábek : 나는 decisionL 결정 문제의 대부분이 DET에 자연스러운 개별 문제 계수를 검증 하는 데 어떻게 기초 하고 있는지 생각하고 있습니다 (함수 문제를 completeL-완전한 것으로 간주 하지만 일반적으로 즉 용어); 그리고 매트릭스 제품에 대한 나의 직관은 단일 계수에 대해 임시로 배열하기가 어렵다는 것이 충분히 복잡하다는 것 입니다. 두 매트릭스 제품은 그 계수에 대해 당신이 상당히 확신 할 수없는 방식으로 동일해야합니다 다른 모든 계수들도 동의 할 것입니다.

— Niel de Beaudrap

로그 스페이스 머신의 허용 경로를 계산하는 것은 비 주기적 그래프의 경로 계산 에 해당하며, 대각선의 상위 삼각 행렬에 1을 곱하여 나타낼 수 있습니다. 후자는 가우시안 제거없이 명시 적 방식으로 기본 행렬의 곱으로 쉽게 표현할 수 있습니다.

— Emil Jeřábek은 Monica를 지원합니다. Monica

우리가 시작하자 카운트 - 완전한 문제 MOD 길이의 경로의 수 정점에서 버텍스 유향 그래프 . 다음과 같이 몇 가지 로그 공간 축소를 적용합니다. $\oplus L$ $2$ $n$ $s$ $t$ $G=(V,E)$

하자 그래프되도록 수행 와 $G'=(V',E')$ $V'=V\times\{0,\dots,n\}$ (즉, 우리는 정점의 사본을가져오고 모서리에 따라 번째 사본에서 사본으로모서리를 이동시킵니다.모든 자기 루프를 추가하십시오). 그런 다음 원래 문제는 길이 경로를 에서 로 계산하는 것과 같습니다. $E'=\{((u,i),(v,i+1):i<n,(u,v)\in E\}\cup\{(w,w):w\in V'\}$ $n+1$ $G$ $i$ $(i+1)$ $G$ $n$ $s'=(s,0)$ $t'=(t,n)$ 에서 . $G'$

또한, 는 비순환 적이며, 우리는 열거 형 명시 적으로 정의 하여 자체 루프를 제외한 모든 모서리가 일부 동안 에서 할 수 있습니다 . 일반성을 잃지 않으면 서 및 입니다. 을 의 인접 행렬 이라고하자 $G'$ $V'=\{w_k:k\le m\}$ $G'$ $w_k$ $w_l$ $k<l$ $w_0=s'$ $w_m=t'$ $M$ $G'$ 주어진 열거 형 . 그때 은대각선에 을갖는 상위 삼각 정수 행렬이며, 에서 까지 길이 의 경로 수는 오른쪽 상단 요소와 같습니다. $M$ $1$ $n$ $s'$ $t'$ $M^n$ .

이 것을 쉽게 알 수 만을 nondiagonal 엔트리 기본 행렬은이다 에서 로우 컬럼 . 이런 식으로, 우리는 원래의 문제를 기본 행렬 곱의 오른쪽 상단 요소를 계산하는 것으로 줄였습니다. 에서

M = \prod_{j = m}^{1} \prod_{i = 0}^{j - 1} E_{i, j} (M_{i, j}),

$M=\prod_{j=m}^1\prod_{i=0}^{j-1}E_{i,j}(M_{i,j}),$

E_{i, j} (a)

$E_{i,j}(a)$

a

$a$

i

$i$

j

$j$

\oplus L

$\oplus L$ 경우, 계산은 모듈로

이며, 즉

대한 행렬을 고려합니다 . (이 경우, 기본 행렬은 우리가 무시할 수있는

일 수 있으며, 질문에서 언급 한 것처럼 단일 CNOT 게이트로 시뮬레이션 할 수있는

일 수 있습니다 .) 정수 행렬로 간주하면

완전 문제가 발생하고, 모듈로

로 간주 하면

완전 문제가 발생합니다.

2

$2$

F_{2}

$\mathbb F_2$

E_{i, j} (0) = I

$E_{i,j}(0)=I$

E_{i, j} (1)

$E_{i,j}(1)$

# L

$\#L$

k

$k$

{M o d}_{k} L

$\mathrm{Mod}_kL$

— Emil Jeřábek은 Monica를 지원합니다
소스

음수 가 아닌 정수 계수를 갖는 기본 행렬의 경우

완전 함을 의미합니다 . 임의의 정수를 사용하면 DET 완료됩니다.

# L

$\#L$

— Emil Jeřábek은 Monica를 지원합니다. Monica

다음은 아마도 표준이지만, 이전에는 명시 적으로 보지 못했습니다 . (주기적 인) digraph에서 길이 n 의 경로 수를 찾는 것이 ⊕L- 완전하다는 것을 보여 주기 위해, 이것은 일부의 계수 계산에 해당합니다. 위에 임의의 행렬의 힘

, 이다 ⊕L의 - 완전한. 이 답은 본질적으로 매트릭스 파워 링 (M의 표준 구성을 블록 외부 매트릭스로 사용하여 상부 대각 블록에서 G의 임의 인접 행렬의 사본과 대각선에서 1로만 복사)을 CNOT 회로로 감소시키는 것입니다. . 좋은 대답입니다!

F_{2}

$\mathbb F_2$

— Niel de Beaudrap

completeL- 완전성이 입증하기 어려운 매트릭스 파워 링을 거치지 않아도됩니다. ⊕L이되는 정의 계수에 의해이 구성 그래프 계수 경로와 동일하다, (I 너무 수가 보증되는 한정된 것으로, 가정, 다항식 시간 시계) 결정적 LOGSPACE 튜링 기계 2 개 취입 경로 개조 기계 (시계가 만료 될 때까지 기계가 루프 상태가되고 고정 된 수용 상태가 됨)에 따라 경로가 모두 동일한 구성으로 끝나고 경로의 길이가 동일하도록 쉽게 배열 할 수 있습니다.

— Emil Jeřábek은 Monica를 지원합니다. Monica

Buntrock et al. 의 Logspace-MOD 클래스 의 논문 구조 및 중요성 에 대한 아이디어에 중점을 둔 것으로 가정합니다 . , 나는 비 주기적 인 digraph 에서 임의의 길이 의 경로 수 와 자연스럽게 연결된 매트릭스 제품 및 힘과 같은 DET 와 같은 문제 에 대해 생각하는 데 훨씬 익숙해졌습니다 .

— Niel de Beaudrap