이론적 컴퓨터 과학에 대한 실제 분석 기술의 적용이 있습니까?

나는 그러한 응용 프로그램을 멀리보고 넓게 보았고 대부분 짧았습니다. 셀 수있는 (또는 셀 수없는) 세트에서 토폴로지와 유사한 구조를 많이 적용 할 수는 있지만 컴퓨터 과학자가 연구 대상으로 계산할 수없는 세트를 실제로 찾지 않기 때문에 분석 기술이 필요합니다.

다음은 두 가지 관련 과정입니다.

• 토론토 대학교 (University of Toronto)의 Ehud Friedgut의 조합론과 CS의 분석 방법 (2009),
• 히브리 대학의 Irit Dinur와 Ehud Friedgut의 조합 및 컴퓨터 과학 분석 방법 (2006).

또한 그의 책에 대한 Ryan O'Donnell의 메모를 확인하십시오.

• Ryan O'Donnell 의 부울 함수 분석 .

오른쪽 상단에 링크가 있습니다.

Graham, Knuth 및 Patashnik의 콘크리트 수학-컴퓨터 과학 기초 책을 참조하십시오 . 9 장에서는 Euler-Maclaurin 요약 공식 을 설명합니다 . 적분을 사용하여 유한 합계를 근사 할 수있는 기술입니다. 466 페이지의 같은 장에서이 기법을 사용하여 하모닉 수 (TCS의 여러 영역에서 많이 나타남) 를 근사화합니다 . 그것은 내가 그것을 사용해야했던 한 번 나에게 일어 났고, 미분 방정식에 대한 점근 적 근사 기법 을 사용하여 적분을 풀었 습니다 .

Lovasz와 B. Szegedy의 연구에서 개발 된 고밀도 그래프 시퀀스의 한계에 대한 이론이 있습니다. 그래프의 특정 속성 테스트 문제에 영향을 미칩니다. http://www.cs.elte.hu/~lovasz/hom-stoc.pdf를 참조 하십시오 . 기본적으로 아이디어는 그래프에서 적절한 메트릭을 정의하고 그래프 시퀀스의 한계를 취하는 개념을 정의한 다음 그래프를 속성에 대한 편집 거리에 매핑하는 함수가 연속적인 경우 그래프 속성을 테스트 할 수 있음을 보여줍니다 정의 된 그래프의 메트릭 공간.

그리고 Flajolet과 Sedgewick의 매그넘 opus 는 알고리즘 분석을 포함하여 조합 구조의 점근 분석을 위해 분석 방법을 사용하는 데 전념하고 있습니다. 이것은 대부분 복잡한 분석에 의존하는 함수 트릭을 생성합니다

Shir이 언급했듯이 Jensen의 불평등은 항상 나타납니다. 특히 조합 문제에 대한 한계를 입증 할 때. 예를 들어 다음 문제를 고려하십시오.

가족 주어 의 서브 세트 V = { 1 , ... , N } , 그 교차점 그래프 G = ( V , E가 ) 에 의해 정의된다 { I , J } ∈ E 경우에만, S I ∩ S j ≠ ∅ . 평균 세트 크기가 r 이고 쌍별 교점의 평균 크기가 최대 k라고 가정합니다. 보여$S_1, \ldots, S_n$$V = \{1, \ldots, n\}$$G = (V, E)$$\{i, j\} \in E$$S_i \cap S_j \neq \emptyset$$r$ .$|E| \geq \frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2}$

증명:

우리가 계산하자 쌍 이되도록 X ∈ V 및 X ∈하는 S 나 ∩ S의 J . 우리에게 처음 수정하자 ( S I , S의 j는 ) 우리가 가장에 있다는 것을 볼 K 등의 선택. 모든 촬영 값 ( S I , S J ) 뿐만 아니라, 우리는 상부의 경계 한 K ⋅ ($(x, (S_i, S_j))$$x \in V$$x \in S_i \cap S_j$$(S_i, S_j)$$k$$(S_i, S_j)$. 이제 x를 고칩니다. 각x에 ( d(x)가 있음을 쉽게 알 수 있습니다.$k \cdot \binom{n}{2} = k \cdot |E|$$x$ 선택하는 방법(SI,S의J). 젠슨의 불평등으로 우리는$\binom{d(x)}{2}$$(S_i, S_j)$

.$n \cdot \binom{r}{2} = n \cdot \binom{\frac{1}{n}\sum_x d(x)}{2} \leq \sum_x \binom{d(x)}{2} \leq k \cdot |E|$

우리는 마침내 n 을 갖기 위해 항을 결합합니다.$\frac{n}{k} \cdot \binom{r}{2} \leq |E|$

이것은 CS보다 조금 더 "수학적인"반면, 특히 조합 최적화에서 볼록 함수용 도구를 사용하는 방법을 보여줍니다.

Andrej Bauer와 Paul Taylor의 Dedekind Reals 를 사용한 효율적인 계산은 어떻 습니까 ?

이산 수학 문제에 접근 할 때 매우 일반적이고 유용한 기술은 연속적인 영역에 포함시키는 것입니다. 수학 도구를 더욱 다양하게 선택할 수 있기 때문입니다. 따라서 내 대답을 수정하십시오. 실제 분석이 자연스럽게 표시되는 필드 (그래픽, 신호 처리 및 물리적 세계와 모방 또는 상호 작용하는 다른 필드) 이외의 기본적으로 모든 곳에서 팝업되지 않았습니다. 그것은 미래에있을 것이라고 추측합니다.

몇 가지 간단한 예 :

1. 코드 수정 오류 : 리드 솔로몬 코드는 다항식을 사용합니다. 코드에 대한 일부 한계는 코드의 표시기 함수를 이산 큐브에서 실수에 대한 함수로보고 푸리에 변환 및 기타 기술을 적용하는 것입니다.
2. 확률 적 방법-농도 정리 측정 (분석 도구)은 랜덤 그래프의 다양한 속성 (예 : 색도)을 표시하는 데 사용됩니다. Alon and Spencer의 책을 참조하십시오.

3. $v$$e$$\frac {1}{61} \cdot \frac {e^3} {v^2}$

4. $k-1$$k$$k-1$

목걸이를 쪼개는 것에 대한 Noga Alon의 정리를 올바르게 기억한다면 문제의 연속 버전을 사용합니다.

참조 : http://www.cs.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/nocon.pdf

Wiki 페이지 ( http://en.wikipedia.org/wiki/Hobby%E2%80%93Rice_theorem) 에 대한 언급도 있습니다.

Resource-bounded 측정 필드 는 Lebesgue 측정을 복잡성 클래스에 적용합니다. 아이디어는 이러한 집합의 상대적인 "크기"에 대해 말함으로써 복잡성 클래스 간 분리를 얻는 것입니다.

아름다운 용지가, 양자 편도 통신 클래식 통신보다 기하 급수적으로 강한 구형 고조파 및 hypercontractive의 라돈 변환을 포함하여 TCS에 드문 실시간 분석 기술의 다소 많은 수를 사용 보아즈 클러 테그 & 오뎃 레게 브에 의해 (이산 적이 지 않은) 단위 영역의 불평등

Haken, Cook 의 모노톤 실제 회로의 크기에 대한 지수 하한 (1997)

나는 항상 규칙적이고 문맥이없는 언어와 함수 이론 ((formal) power series) 사이의 연관성이 매우 흥미로웠다는 것을 알게되었다. 그래서 프랑스 인들은이 언어 클래스를 "이론적"과 "대수"라고 부른다. 이것은 또한 프랙탈 지오메트리에 대한 연결을 나타냅니다. 유사한 맥락에서, 예를 들어, 유한 오토마타는 표준 메트릭 토폴로지를 구비 할 때 훌륭한 토폴로지 특성을 갖는 무한 단어에 언어를 정의 할 수있다.

또 다른 연결은 푸리에 변환에서 알려진 것과 유사한 몇 가지 알고리즘의 속도를 높이는 최근에 개발 된 "집합 설정"이론 일 수 있습니다. 나는 이것들이 적어도 "영감 유사성"이라고 가정한다.