문제

그래프의 간결한 표현에 대한 연구는 Galperin과 Wigderson 에 의해 1983 년의 논문에서 시작되었으며 , 여기서 그래프에서 삼각형을 찾는 것과 같은 많은 간단한 문제에 대해, 의 해당 간결한 버전은 - 을 증명합니다 . 파파 디미트리 오우 및 Yanakkakis은 상기 본 연구의 라인, 및 문제에 대한 증명할 이다 - 완전한 / - 완전한 해당 간결 버전, 즉 간결 각각 인 -완료 및 -완료. (또한 가 Π N E X P E X P Π N $\mathsf{NP}$N P $\Pi$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\Pi$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{EXP}$$\Pi$$\mathsf{NL}$-완료하면 Succinct 는 -완료입니다.P S P A C $\Pi$$\mathsf{PSPACE}$

이제 내 질문은 알려진 문제 가 있습니까? 해당 간결 버전이 있습니까? 위에서 놓친 다른 관련 결과 (긍정적이거나 불가능한 결과가있는 경우)에 대해 알고 싶습니다. (간결함, 표현, 문제, 그래프와 같은 검색어는 거의 모든 복잡한 결과를 초래하기 때문에 Google 검색으로 관심있는 것을 찾을 수 없었습니다! :))$\Pi$$\mathsf{P}$

간결한 버전에 흥미로운 속성이있는 흥미로운 문제가 있습니다. 회로 크기 를 문제로 정의하십시오 . 부울 함수를 비트 문자열로 지정하면이 함수의 회로 크기는 최대 입니까? 이 문제는 있습니다.2 N 2 N / 2 N $2^{n/2}$$2^n$$2^{n/2}$$NP$

Succinct-Circuit-Size- 를 정의하는 한 가지 방법 은 다음과 같습니다. 상수 경우 , 크기 회로 주어지면 진리표가 인스턴스인지 알고 싶습니다. 회로 크기의 . 그러나 이것은 사소한 문제입니다. 실제 회로 인 모든 입력은 예 인스턴스입니다. 따라서이 문제는 입니다. k n n k C 2 n / 2$2^{n/2}$$k$$n$$n^k$$C$$2^{n/2}$$P$

Succinct-Circuit-Size- 를 정의하는보다 일반적인 방법 은 다음과 같습니다. 임의의 회로 가 주어지고 진리표가 Circuit-Size- 의 인스턴스를 인코딩하는지 알고 싶습니다. . 하지만 에 대한 입력의 수 , 의 크기 및 , 우리는 자동으로 받아 들일 수있다 : 입력 자체가 언어에 대한 증인이다. 그렇지 않으면 입니다. 이 경우 입력 길이 은 이미 크므로 에서 가능한 모든 대입을 시도 할 수 있습니다. C 2 N / 2$2^{n/2}$$C$$2^{n/2}$$n$m C m ≤ 2 n / 2 m ≥ 2 n / 2 m 2 n m O ( 1 ) N P N P N $C$$m$$C$$m \leq 2^{n/2}$$m \geq 2^{n/2}$$m$$2^n$$m^{O(1)}$시간, 함수의 진리표를 얻습니다. 이제 우리는 원래 문제로 다시 돌아갑니다 . 그래서이 문제입니다 간결한 버전도 .$NP$$NP$$NP$

이 문제는 hard 가 아닌 것으로 여겨진다 . 카바 네츠와 카이 (Kabanets and Cai)의 논문 참조 (http://www.cs.sfu.ca/~kabanets/Research/circuit.html)$NP$

주어진 간결한 표현으로 표현 된 그래프에 적어도 하나의 모서리가 포함되어 있는지 여부를 결정하더라도 회로 SAT와 동등하므로 NP- 완료되므로 간결한 표현의 흥미로운 특성은 NP-hard “흥미로운”에 대한 적절한 정의.이 주장은 라이스 정리에 대한 복잡한 이론적 유사체 일 것이다 . 아아, 라이스 정리의 가장 일반적인 복잡성 이론적 유사체를 찾는 것은 열린 문제 이지만, 그러한 복잡성 이론적 유사체의 일부 형태를 제공하는 결과가 있습니다.

나는 이것이 대답이라는 것을 의미하지는 않았지만 너무 많은 의견이 필요할 것입니다. 유용하기를 바랍니다.

츠요시가 지적했듯이, 모든 "사소한"속성은 어렵다고 추측하고 있습니다 (예 : NP- 하드). 그러나이를 표시하려면 사소하지 않은 것을 정의해야합니다. Rice의 정리에서, 사소한 속성은 계산 가능한 모든 언어를 포함하는 속성과 계산 가능한 언어를 포함하지 않는 속성을 제외한 모든 속성입니다. 간결한 문제에 대한 사소한 비정의의 올바른 정의가 무엇인지 명확하지 않습니다. 모든 문자열을 포함하거나 문자열이없는 속성은 P에 있지만 P에는 다른 속성도 있습니다. 예를 들어, 중간 비트가 0 인 문자열과 일치하는 속성입니다. 또는 에는 번째 비트 마다 되도록 비트 의 모든 문자열이 포함됩니다 .Π 2 n 2 n / x x = n O ( 1 $\Pi$$\Pi$$2^n$$2^n/x$$x = n^{O(1)}$ 입니다. 그렇다면 이러한 유형의 속성을 포함하도록 "사소한"을 어떻게 정의 할 수 있습니까?

한 가지 아이디어는 "대칭"인 를 보는 것입니다 . 문자열 가 에 있으면 비트의 순열 도 있습니다. 이러한 속성은 문자열의 1 비트 수에만 의존합니다. Ryan Williams는 Tsuyoshi가 링크 한 질문에 대한 답변으로이 문서에 대한 링크를 제공하여 이러한 모든 문제가 심각하다는 것을 보여줍니다.s Π s $\Pi$$s$$\Pi$$s$$\Pi$

다른 아이디어는 "사소하지 않은 재산"을 정의하는 방법? 부울 함수 (각 문자열 길이에 대한 속성의 표시기 함수)로 를 볼 수 있습니다 . 사소한 특성은 해당 부울 함수 계열이 사소한 복잡성을 갖는 특성 인 것 같습니다. 예를 들어, 연관된 부울 함수 패밀리에 선형 의사 결정 트리 복잡성이있는 특성이 어렵다는 것을 보여줄 수 있습니까?$\Pi$