알고리즘 벡터 문제

GF (2) 필드의 벡터와 관련된 대수 문제가 있습니다. 하자 일 차원 (0,1)를 -vectors N 및 m = N ^ {O (1)} . u 가 v_1, v_2, \ ldots 중 (\ log n) ^ {O (1)} 벡터 의 합이 아닌 동일한 차원 의 (0,1)-벡터 u 를 찾는 다항식 시간 알고리즘을 찾습니다. v_m . 벡터의 추가는 필드 GF (2) 위에 있으며 0과 1 ( 0 + 1 = 0 + 1 = 1 및 0 + 0 = 1 + 1 = 0 )의 두 요소를 갖습니다 .$v_1, v_2, \ldots, v_m$$n$$m=n^{O(1)}$$u$$u$$(\log n)^{O(1)}$$v_1,v_2, \ldots, v_m$$0+1=0+1=1$$0+0=1+1=0$

간단한 카운팅 인수로 이러한 벡터 u의 존재를 쉽게 알 수 있습니다. 다항식 시간에 $u$ 를 찾을 수 있습니까 ? 지수 시간에 u 를 찾는 것은 사소한 일입니다 $u$. 첫 번째 올바른 솔루션에 대해 200 달러 수표 상을 보내겠습니다.

오타가있는 것 같습니다. 나는 ( 아닌 ) 중 벡터 의 합이 아닌 을 찾는 것을 의미한다고 가정합니다 .$u \in \{0,1\}^n$$(\log n)^{O(1)}$$v_1,\dots, v_m$$n$

상수가 효과가 있는지는 분명하지 않습니다 . 만약 벡터 보다 적은 합계를 계산할 수 있다면,해야 할 일이있을 것입니다. 그러나이 수량을 원한다면 상당히 어렵다고 생각합니다 (오랫 동안이 문제를 해결해 왔습니다).$(\log n)^{O(1)}$$\log m$$(\log m)^{1+\delta}$

여전히 이것이 특정 매개 변수에 대한 Alon, Panigrahy 및 Yekhanin의 원격 지점 문제 ( "가장 가까운 코드 워드 문제에 대한 결정적 근사 알고리즘")의 인스턴스라는 것을 알고 자 할 것입니다. 하자 및 에서 선형 부호의 패리티 검사 행렬의 열 수 의 치수 (이 행렬이 풀 랭크 없었다면 문제는 사소한 것입니다). 그런 다음 문제는 즉 코드에서 -n을 찾는 것과 같습니다. 치수가 m에 매우 가까운이 매개 변수 설정은 논문에서 연구되지 않습니다. 그러나 그들은 원격 성 만 달성 할 수있다$m > n$$v_1,\dots,v_m$$\{0,1\}^m$$d = m - n$$u \in \{0,1\}^n$$(\log n)^{O(1)}$$\log m$최대 치수에 일부 상수에 대한 . 사실, 우리는 우리가 할 수있는 다항식 크기의 인증서를 알고 생각하지 않는다 증명 몇 가지 벡터 이상이다 -far 차원의 공간에서 만 발견하자, 그것.$d = cm$$c$$\omega(\log m)$$\Omega(m)$

실수와 관련된 모델의 학습 패리티와 관련이 있습니다. 실수가 보다 작게 바인딩되어 -parities ( 에 정의 됨 효율적으로 학습 할 수 있으면 임의의 값을 첫 번째 로 설정할 수 있습니다 학습자가 예측 한 것과 반대 값으로 설정하여 마지막 비트에서 비트 와``실수를 강제하십시오 ''. 그래도 훨씬 더 강력 해 보입니다.$(\log n)^{O(1)}$${0,1}^m$$n$$n - 1$$u$

이 문제는 EXP를 특정 축소에서 희소 세트로 분리하는 것과 관련이 있습니다.