TCS의 아름다운 결과

최근에, 내 친구 (TCS에서 일하고 있음)가 대화에서 "그는 평생 동안 TCS의 아름다운 결과를 모두 (또는 가능한 한 많이보고 싶어) 알고 싶다"고 언급했습니다. 이런 종류의 결과로이 분야의 아름다운 결과와 다음 질문에 대한 동기가 궁금해졌습니다.

이론적으로 컴퓨터 과학에서 어떤 결과 (또는 아이디어)가 아름답습니까? 이유를 언급하면 ​​좋을 것입니다. [아이디어가 수학에서 유래 한 경우에도 문제가 없지만 TCS에서 관심을 불러 일으켰다.]

간단하고 우아하면서도 강력한 결과이기 때문에 Cantor의 대각선 논증으로 답을 시작하겠습니다.

정지 문제의 결정 불가능 성.

여러 가지 이유로 아름답습니다. 불가능한 결과입니다. 증거는 대각선을 사용합니다. 이 진술은 광범위한 계산 모델에 적용됩니다. 특히 표준 프로그래밍 언어를 사용하여 다양한 방식으로 공식화 할 수 있습니다. 컴퓨팅 역사에서 유역 결과였습니다. 이 문장을 확장하면 라이스 정리, 튜링 학위 및 기타 멋진 결과가 나옵니다. 기타 등

제 생각에, Curry-Howard 서신 은 가장 아름다운 이론적 결과 중 하나이며 연구를하게 된 계기가되었습니다.

한편으로는 프로그램과 다른 한편으로 증명이라는 두 시스템이 거의 동일한 구조를 가지고 있다는 생각은 거의 철학적 인 성격을 띠고 있습니다. 일반적인 "추론 패턴"이 있습니까?

공개 키 암호화의 가능성 (예 : Diffie-Hellman 키 교환 체계)

안전하지 않은 채널에서 비밀을 교환하기 전에 사람들이 만나야 할 매우 강력한 선입견을 깨뜨립니다.

나는 유클리드의 알고리즘에 놀랐다. 나에게, 그것은 인간 사고의 힘에 대한 증거입니다. 사람들 은 그렇게 일찍 알고리즘을 생각할 수 있습니다 (내 기억을 믿으면 기원전 300 년경).

빨리 감기, 주제에 대한 마비 마비 문학이 있습니다. Scott Aaronson의 목록 은 이와 관련하여 도움이 될 것이라고 생각합니다. 그러나 Aaronson 자신이 완전하지는 않지만 (전적으로 이론적 인 것은 아님)

폰 노이만의 Minmax 정리를 사용하여 랜덤 알고리즘의 하한을 증명하는 Yao의 기법. 나는이 세상에서 벗어난 것으로 생각한다.

Lovasz Local Lemma를 포함하여 구성하기 어려운 객체의 존재를 증명하는 확률 적 방법. 이 기술은 매우 간단하지만 강력합니다.

다항식을 사용한 Madhu Sudan의 코딩 이론 구성.

익스팬더 (이것은 Ramanujan 그래프로 시작했습니다)와 추출기와 의사 난 수성에서의 적용

Cooley와 Tukey의 Fast Fourier Transform 알고리즘은 DFT를 찾습니다. (Tukey가 가정 한 것처럼, 이것은 적어도 Gauss에게 알려진 잘 알려진 기술의 재발견이었습니다!)

배 링턴의 정리 (당시 놀라운 결과)

병렬 반복 정리 (결과는 훌륭하지만 증거는 쉽지 않음)

Lovasz Theta 함수는 그래프의 shannon 용량을 추정합니다.

LP가 P에 있음을 보여준 타원체 알고리즘은 많은 사람들이 여전히 NP-Complete이라고 의심했을 때 놀랍습니다.

놀랍게도 아직 추가되지 않은 가장 확실한 답변 중 하나입니다. 때로는 공평하게 볼 수있는 무언가로 너무 많이 작동합니다. 쿡 / 레빈에 의해 시작 NP 완전성의 이론을 더욱 선견지명 생각해 보면 그 유비쿼터스의 초기 표시를 준 카프에 의해 즉시 증폭. 여러 가지면에서 이것은 현대의 TCS 및 복잡성 이론의 탄생이며, 핵심 / 핵심 / 유명한 질문 P =? NP는 40 년 동안의 집중적 인 연구 / 공격 후에도 여전히 열려 있습니다. P =? NP는 솔루션으로 1 백만 달러의 Claymath 상을 수상했습니다.

쿡 프루프는 NDTM을 도입했습니다. NDTM은 전혀 이론적 인 호기심이 아니라 TCS의 거의 근본적인 부분입니다. 말하자면, 1000 척의 배를 발사했습니다. 또한 BGS-75 Oracle / Relativization 결과와 같이이 목록에 언급 된 다른 주요 / 강력한 TCS 기술 중 하나 인 대각선 화를 통해 지속적으로 노력을 거부 / 방어합니다. 솔루션은 Razborov-Rudich Natural Proofs 논문 (2007 Godel 상)에서 추가 제안 / 확장했습니다.

subj에는 많은 참고 문헌이 있지만 역사에 대한 첫 번째 설명이있는 최근 문서는 RJ Lipton 의 P =? NP Question and Godel 's Lost Letter 에서 찾을 수 있습니다.

Kolmogorov 복잡성 과 비압축성 방법 .

Kolmogorov의 복잡성에 기반한 비압축성 방법은 증명을 공식화하는 새롭고 직관적 인 방법을 제공했습니다. 비압축성 방법을 사용하는 전형적인 증거에서, 먼저 토론중인 수업에서 비압축성 개체를 선택합니다. 이 주장은 원하는 속성이 유지되지 않는다면, 가정과 달리 객체를 압축 할 수 있으며, 이것은 필요한 모순을 제거한다고 주장한다.

예를 들어 무한한 수의 소수가 있다는 증거, 고델의 불완전 성 정리에 대한 대안 적 증거 또는 Kolmogorov Complexity와 Computational Complexity 사이 의 연결을 참조하십시오 .

나는 Kleene의 두 번째 재귀 정리에 놀랐습니다 . 표면적으로는 단순하고 유용하지는 않지만 나중에 수학적으로나 철학적으로 깊다는 것을 알았습니다.

Turing Machines에서 입증 된 변형에 대해 읽었을 때 (매우 비공식적으로 기계가 자신의 설명을 얻을 수 있다고 말하거나 자체적으로 인쇄하는 프로그램과 같이 자신의 설명을 출력하는 기계가 있음을 진술합니다.) 너무 힘들지만 이전에는 없었던 것처럼 흥미 롭습니다. 그런 다음 정리를 사용하여 정지 문제의 결정 불가능 성과 최소 기계의 인식 불가능에 대한 한 줄의 증거를 제공하는 방법을 알 수 있습니다.

Shannon의 소스 및 채널 코딩 이론.

전송, 수신자 및 매체를 구별하고 메시지의 의미를 무시한 수학적 정의는 큰 단계였습니다. 엔트로피는 데이터의 맥락에서 환상적으로 유용한 개념입니다. 정보 이론이 더 잘 알려 져야하기 때문입니다.

PCP 정리를 바탕으로 한 아름다운 결과는 만족할만한 것들에 대해서도 3SAT 공식의 7/8 이상을 만족시키는 것이 계산 상 어렵다는 것입니다 (NP-hard).

BQP에서 인수 분해하기위한 알고리즘을 분류합니다 . 제 의견 / 메모리에서, 양자 계산은 1994 년이 결과가 될 때까지 이론적 인 호기심에 지나지 않았습니다.이 시점에서 QM 컴퓨팅에 대한 문헌과 연구 관심이 폭발 한 것으로 보입니다. 여전히 알려진 가장 중요한 QM 알고리즘 중 하나입니다. 1999 년 괴델 상 수상. 또한 QM 계산의 팩토링은 실제로 팩토링이 NP 완료인지 여부에 대한 질문이 여전히 열려있는 클래식 컴퓨팅보다 다소 이해하기 쉽다는 것을 보여줍니다.

나에게 AKS P- 시간 우선 테스트 는 다양한 의미에서 매우 아름답습니다. 당시의 돌파구는 우리의 생애에서 복잡한 이론에서 볼 수있는 대단하지만 드문 돌파구 중 하나입니다. 그것은 그리스 고대에 거슬러 올라가는 문제를 해결하고 발명 된 가장 초기 알고리즘 (eratosthenes의 체), 즉 소수를 효율적으로 식별하는 것과 관련이 있습니다. 불행히도 비 구조적인 많은 위대한 증거와는 대조적으로, 원시성 탐지가 P에 있다는 건설적인 증거.

이 알고리즘은 AKS 알고리즘 이전에 단지 확률 적으로 만 가능했기 때문에 알고리즘이 큰 소수를 신속하게 찾아야하기 때문에 다른 답변에서 언급 된 RSA 암호화 알고리즘과 상호 연결되었습니다. 그것의 근본적인 숫자 이론과 다른 깊은 문제들, 예를 들어 알고리즘의 원래 영역 인 리만 (Riemann) 추측과 연결되어있다.

2006 년 괴델 상 및 2006 년 풀커 슨상 수상

로버트슨과 시모어의 그래프 사소한 정리 는 내가 본 것 중 가장 훌륭한 이론 이라고 생각 합니다 . 우선 조용히 복잡하지만 기본 추측은 어렵지 않으며 TCS에서 일하는 모든 사람들이 추측 할 수 있습니다. 그들을 증명하기위한 그들의 극단적 인 노력은 훌륭했습니다. 사실이 시리즈의 논문을 읽은 후에는 인간의 마음의 힘을 이해합니다.

또한 그래프 사소한 정리는 TCS의 다른 분야에 큰 영향을 미칩니다. 그래프 이론, 근사 알고리즘, 매개 변수화 된 알고리즘, 논리 등과 같이 ...

내가 좋아하는 결과 제품군 중 하나는 겉보기에는 무한한 성격의 다양한 문제를 결정할 수 있다는 것입니다.

1. 실제 폐쇄 필드의 1 차 이론은 (타르 스키 (Tarski)에 의해) 결정 가능하다. 유클리드 기하학은 또한 실제 닫힌 필드의 공리의 모델이므로 Tarski는이 모델의 1 차 진술을 결정할 수 있습니다.
2. Presburger 산술은 결정할 수 있습니다.
3. 대수적으로 닫힌 필드 (복소수 포함)의 1 차 이론을 결정할 수 있습니다.
4. 무한 (및 유한) 단어에 대한 모나드 2 차 논리는 ​​결정 가능합니다. 그 증거는 우아하며 학부생들에게 가르 칠 수 있습니다.

확률 론적 알고리즘에 대한 멋진 결과가 많이 있습니다.이 알고리즘은 믿을 수 없을 정도로 단순하고 계산에 대한 생각에서 큰 발전입니다.

편향된 동전으로 공정한 동전을 구현하기위한 폰 노이만의 트릭. 우리는 지금 확률 알고리즘에 익숙하지만 외부 관점에서 볼 때 이것은 믿을 수 없을만큼 시원합니다. 알고리즘과 증명은 모두 고등학교 확률을 알고있는 누구나 접근 할 수 있습니다.

Tim Griffin의 결과 call/cc로 고전 논리와 관련된 연산자를 제어 하고 Curry-Howard 대응을 확장했습니다.

call/cc$E$$\neg\neg \tau$$\mathtt{call/cc}{(E)}$$\tau$$\neg\tau$$\tau\rightarrow\bot$$\tau$

그의 논문 인 "포뮬러-유형 제어 개념"이 POPL 1990에 실렸다.

내가 가장 좋아하는 것은 평면에서 가장 가까운 점 쌍을 계산하기위한 Rabin의 선형 시간 알고리즘입니다. 계산 모델의 중요성, 무작위 알고리즘의 힘 및 무작위 알고리즘에 대해 생각할 수있는 몇 가지 우아한 방법이 있습니다.

이것은 CS가 여전히 수학에서 만난 우아함 (먼저 5000 년을 시작한 것으로 보임), 미적분학의 기본 정의 / 결과, 토폴로지 (고정 점 정리), 조합론, 기하학 (피타고라스 정리 http) : //en.wikipedia.org/wiki/File : Pythag_anim.gif ) 등

아름다움을 찾으면 어디에서나 찾으십시오 ...

이 결과는 아마도 근본으로 인정 받기에는 다소 최근일 것이지만, 나는 모토로 피 형식 해석이 자격이 있다고 생각합니다 . 이보기에서는 구성 유형 이론의 유형 을 특정 기하학적 특성 (이 경우 homotopy) 이있는 세트로 해석 할 수 있습니다 .

예를 들어 "axiom K"를 도출 할 수 없다는 사실과 같이 형식 이론에 대한 이전의 복잡한 관측을 간단하게하기 때문에이 관점이 특히 아름답다는 것을 알게되었습니다 .

Steve Awodey의이 신진 분야에 대한 개요는 여기 에서 찾을 수 있습니다 .

무 지식 증명 은 매우 흥미로운 개념입니다. 그것은 증명자인 다른 검증 자에게 (비 확률로)“비밀”(일부 NP 문제에 대한 해결책, 어떤 수의 모듈 식 제곱근, 개별)을 알고 있음을 증명할 수있게한다. 비밀에 대한 정보를 전혀 제공하지 않고 (일부보기가 어렵습니다. 비밀을 알고 있다는 첫 번째 아이디어는 실제로 비밀을 말하고, 그로 인해 발생할 수있는 모든 의사 소통을하는 것이기 때문에) 당신이 비밀을 알고 있다고 믿는 검증자는 사전에 비밀에 대한 검증 자의 지식을 증가시킬 수 있습니다).