빨간색과 검은 색 나무의 하위 범위

도서관에서 버그를 고치려고 노력하는 동안 나는 성공하지 못한 붉은 나무와 검은 나무에서 하위 범위를 찾는 논문을 검색했습니다. 나는 지퍼를 사용하는 솔루션과 불변의 데이터 구조에 대한 삭제 알고리즘에 사용되는 일반적인 추가 작업 과 비슷한 것을 고려하고 있지만 여전히 찾을 수 없었던 더 나은 접근 방법이 있는지 또는 최소한의 복잡도 경계가 있는지 궁금합니다. 그런 작업에?

명확히하기 위해, 나는 빨강 & 검정 나무와 두 개의 경계가 주어지면 그 경계 안에 속하는 첫 번째 나무의 모든 요소를 ​​가진 새로운 빨강 & 검정 나무를 생성하는 알고리즘에 대해 이야기하고 있습니다.

물론 복잡성의 상한은 요소를 추가하여 한 트리를 통과하고 다른 트리를 구성하는 복잡성입니다.

이 답변은 내 의견 중 일부를 질문에 결합하고 확장합니다.

레드 블랙 트리의 하위 범위 작업은 최악의 경우 O (log n) 시간에 수행 할 수 있습니다. 여기서 n은 원래 트리의 요소 수입니다. 결과 트리는 원래 트리와 일부 노드를 공유하므로이 방법은 트리를 변경할 수없는 경우 (또는 트리는 변경 가능하지만 원래 트리는 더 이상 필요하지 않은 경우)에만 적합합니다.

하위 범위 작업은 두 개의 분할 작업으로 구현할 수 있습니다. 여기서 분할 연산은 레드-블랙 트리 T와 키 x를 취하여 L이 x보다 작은 T의 모든 요소와 R이 x보다 큰 T의 모든 요소로 구성되도록 두 개의 트리 L과 R을 생성합니다. 따라서 우리의 목표는 현재 최악의 O (log n) 시간에 레드 블랙 트리에서 분할 작업을 구현하는 것입니다.

O (log n) 시간에 적색 흑색 트리에서 분할 작업을 어떻게 수행합니까? 잘 알려진 방법이 있다는 것이 밝혀졌습니다. (나는 그것을 알지 못했지만, 데이터 구조의 전문가는 생각하지 않습니다.)이 고려 에 가입 L의 모든 값이 R의 모든 값보다 작도록 두 나무의 L과 R을 받아 구성된 트리를 생성하는 작업을, 모든 결합 연산은 최악의 시간 O (| r _L -r _R | +1) 에서 구현 될 수 있으며 , 여기서 r _L 및 r _RL과 R의 순위 (즉, 뿌리에서 각 잎까지의 경로에있는 검은 노드의 수)입니다. 분할 연산은 결합 연산 O (log n) 시간을 사용하여 구현 될 수 있으며, 텔레 스코핑 합계를 고려하여 총 최악의 시간은 여전히 ​​O (log n)입니다.

Tarjan의 책 [Tar83]의 섹션 4.1과 4.2는 최악의 시간 O (log n)에서 적-검정 나무에 대한 조인 및 분할 작업을 구현하는 방법을 설명합니다. 이러한 구현은 원래 트리를 파괴하지만 노드를 수정하는 대신 노드를 복사하여 변경 불가능한 기능적 구현으로 쉽게 변환 할 수 있습니다.

참고로, Objective Caml 의 Set 및 Map 모듈은 (불변의) 균형 이진 검색 트리에 대한 다른 표준 작업뿐만 아니라 분할 작업도 제공합니다. 레드-블랙 트리를 사용하지는 않지만 (왼쪽 높이와 오른쪽 높이가 최대 2만큼 다르다는 제약이있는 균형 이진 검색 트리를 사용하지만) 구현을 살펴 보는 것도 유용 할 수 있습니다. 다음은 Set 모듈의 구현입니다 .

참고 문헌

[Tar83] Robert Endre Tarjan. 데이터 구조 및 네트워크 알고리즘 . 응용 수학에서 CBMS-NSF 지역 회의 시리즈 44 권 , SIAM, 1983.

해결책은 적갈색 나무를 사용하지 않는 것입니다. 스플레이 트리 및 AVL 트리에서 분할 및 결합 코드는 매우 간단합니다. 이를 지원하는 스플레이 트리 및 AVL 트리 용 Java 코드가있는 다음 URL을 참조합니다. 다음 URL로 이동하여 Set.java (avl trees) 및 SplayTree.java (splay trees)를 확인하십시오.

ftp://ftp.cs.cmu.edu/usr/ftp/usr/sleator/splaying/

--- 대니 슬레이터

(이것은 의견을 의미하는 것이지만 의견을 남기기에는 너무 새롭습니다.)

하위 범위를 새 트리로, 하위 트리없이 입력 트리를 다른 트리로 반환하는 "정밀"연산에 관심이있을 수도 있습니다. 알려진 방법은 레벨 링크에 의존하기 때문에 트리의 기본 표현을 제어해야합니다. 상각 된 의미에도 불구하고 더 작은 나무 의 크기에 대해 시간에 따라 로그가 정교하게 실행됩니다 (더 이상 종이에 액세스 할 수 없기 때문에 "amortized"는 iirc입니다).

K. Hoffman, K. Mehlhorn, P. Rosenstiehl 및 RE Tarjan, 레벨 링크 된 검색 트리를 사용하여 선형 시간으로 Jordan 시퀀스 정렬, Information and Control, 68 (1986), 170–-184

추신 : 위 인용문은 Seidel의 요약 문서에서 발췌 한 것입니다. 치료는 또한 절제를 지원합니다.

$n$$m$$[a,b]$

1. $O(\lg n)$$\ge a$$a$
2. $O(m)$
3. $O(m)$

$O(m+\lg n)$$O(n+m\lg m)$

$o(m)$$\Omega(\lg m)$$k$$\lg m$

세부 사항을 해결하지 못했기 때문에 추가 부기가 어떻게 운영 시간에 영향을 미치는지 잘 모르겠습니다.

$O(1)$$\Omega(\lg m)$