고정 직경 그래프 용 3 분할 분할

3-Clique Partition 문제는 그래프의 꼭짓점 (예 : )을 3 개의 clique로 분할 할 수 있는지 여부를 결정하는 문제입니다 . 이 문제는 3 색성 문제를 간단히 줄임으로써 NP-hard입니다. 또는 때이 문제에 대한 답이 쉬운 지 알기 어렵지 않습니다 . 문제는 때 자체에서 간단한 감소로 인해 NP-hard 상태로 남아 있습니다 (그래프 주어지고 꼭짓점을 추가하고 다른 모든 꼭짓점에 연결). $G$ $\textrm{diam}(G) = 1$ $\textrm{diam}(G) > 5$ $\textrm{diam}(G) = 2$ $G$

이 그래프와 문제의 복잡도 란 에 대한 ? $\textrm{diam}(G) = p$ $3\le p \le 5$

— 바박 베사
소스

문제는 에있는 것 같습니다 . $P$

거리가 정확히 3 인 두 개의 꼭짓점 , 를 취하십시오 (이러한 쌍은 때 존재해야합니다 ). 그들은 다른 색을 가져야합니다 (R, G, B를 사용하여 3 가지 색을 나타내며 같은 도당의 정점이 같은 색으로 표시됩니다). Wlog는 가 빨간색이고 가 녹색 이라고 가정 합니다. $u$ $v$ $p\ge 3$ $u$ $v$

이제 나머지 정점은 ( 이웃 ), 및 3 개 세트로 분할됩니다 . 세 번째 세트는 또는 인접하지 않으므로 파란색으로 표시되어야합니다 . 의 이웃 그들이 인접하지 않기 때문에 빨간색 또는 파란색 중 하나를 색해야 , 유사의 이웃 녹색 또는 파란색 중 하나를 색해야합니다. 각 정점은 이제 최대 두 가지 선택 사항을 가지므로 문제는 다항식 시간으로 해결할 수있는 2-SAT 인스턴스가됩니다. $\Gamma(u)$ $u$ $\Gamma(v)$ $V-\Gamma(u)-\Gamma(v)$ $u$ $v$ $u$ $v$ $v$

— 룽게
소스

해당 2-SAT 제제를 설명 할 수 있습니까?

— user5153

하자 의 경우에만, 우리 색상 정점 사실 블루. 가장자리로 연결되지 않은 두 개의 꼭지점 와 고려하십시오 . 둘 다 파란색 또는 빨간색 일 수 있다고 가정합니다. 2-SAT 인스턴스에 및 절이 있어야합니다 . 다른 경우는 파란색 또는 빨간색이고 다른 하나는 파란색 또는 녹색 일 수 있습니다 (단 하나의 절만 필요).

B (v)

$B(v)$

v

$v$

u

$u$

v

$v$

(B (v) \lor B (u))

$(B(v) \vee B(u))$

(\bar{B (v)} \lor \bar{B (u)})

$(\bar{B(v)} \vee \bar{B(u)})$

— Babak Behsaz