ADT, GADT 및 유도 유형의 차이점은 무엇입니까?

누구나 다음의 차이점을 설명 할 수 있습니다.

• 대수 데이터 타입 (나는 상당히 익숙하다)
• 일반화 된 대수 데이터 유형 (일반화하는 이유)
• 유도 형 (예 : Coq)

(특히 귀납적입니다.) 감사합니다.

대수 데이터 유형을 사용하면 유형을 재귀 적으로 정의 할 수 있습니다. 구체적으로, 데이터 유형이 있다고 가정

$$\mathsf{data\;list = Nil \;\;|\;\; Cons\;of\;\mathbb{N} \times list}$$

이것은 가 및 연산자에 의해 생성 된 가장 작은 집합 이라는 것을 의미 합니다. 연산자 정의하여이를 공식화 할 수 있습니다.$\mathsf{list}$$\mathsf{Nil}$$\mathsf{Cons}$$F(X)$

$$F(X) == \{ \mathsf{Nil} \} \cup \{ \mathsf{Cons}(n, x) \;|\; n \in \mathbb{N} \land x \in X \}$$

그런 다음 를 다음과 같이 정의하십시오.$\mathsf{list}$

$$\mathsf{list} = \bigcup_{i \in \mathbb{N}} F^i(\emptyset)$$

일반화 ADT는 타입 정의 할 때 우리가 무엇을 얻을 연산자를 재귀. 예를 들어 다음 유형 생성자를 정의 할 수 있습니다.

$$\mathsf{bush}\;a = \mathsf{Leaf\;of\;}a \;\;|\;\; \mathsf{Nest\;of\;bush}(a \times a)$$

이 유형 수단의 요소 것을 의 튜플이다 길이의 일부 , 각 시간 이후 우리가 들어갈 유형의 인수가 자체와 페어링되어 생성자 . 따라서 고정 소수점을 원하는 연산자를 다음과 같이 정의 할 수 있습니다.a 2 n n N e s $\mathsf{bush\;}a$$a$$2^n$$n$$\mathsf{Nest}$

$$F(R) = \lambda X.\; \{ \mathsf{Leaf}(x) \;|\; x \in X\} \cup \{ \mathsf{Nest}(v) \;|\; v \in R(X) \}$$

Coq의 귀납적 유형은 본질적으로 GADT이며, 유형 연산자의 색인은 다른 유형 (예 : Haskell에서와 같이)으로 제한되지 않고 유형 이론의 값 으로 색인화 될 수도 있습니다 . 이를 통해 길이 인덱스 목록 등에 유형을 지정할 수 있습니다.

다음과 같은 대수 데이터 유형을 고려하십시오.

data List a = Nil | Cons a (List a)

데이터 유형에서 각 생성자의 반환 유형은 모두 동일 Nil하며 Cons모두 return List a입니다. 생성자가 다른 유형을 반환하도록 허용하면 GADT가 있습니다 .

data Empty -- this is an empty data declaration; Empty has no constructors
data NonEmpty

data NullableList a t where
    Vacant :: NullableList a Empty
    Occupied :: a -> NullableList a b -> NullableList a NonEmpty

Occupied유형이있는 a -> NullableList a b -> NullableList a NonEmpty반면 Cons유형이 a -> List a -> List a있습니다. 이 NonEmpty용어는 용어가 아니라 유형입니다. 또 다른 예:

data Zero
data Succ n

data SizedList a t where
    Alone :: SizedList a Zero
    WithFriends :: a -> SizedList a n -> SizedList a (Succ n)

종속 유형이있는 프로그래밍 언어의 유도 유형은 생성자의 리턴 유형이 인수의 값 (유형이 아닌)에 종속되도록합니다.

Inductive Parity := Even | Odd.

Definition flipParity (x:Parity) : Parity :=
  match x with
    | Even => Odd
    | Odd => Even
  end.

Fixpoint getParity (x:nat) : Parity :=
  match x with
    | 0 => Even
    | S n => flipParity (getParity n)
  end.

(*
A ParityNatList (Some P) is a list in which each member
is a natural number with parity P.
*)

Inductive ParityNatList : option Parity -> Type :=
  Nil : forall P, ParityNatList P
| Cons : forall (x:nat) (P:option Parity), 
  ParityNatList P -> ParityNatList 
  (match P, getParity x with
     | Some Even, Even => Some Even
     | Some Odd, Odd => Some Odd
     | _, _ => None
   end).

참고 사항 : GHC에는 값 생성자를 유형 생성자로 취급하는 메커니즘이 있습니다. 이는 Coq의 종속 유도 유형과 동일하지 않지만 GADT의 구문 부담을 다소 줄이고 오류 메시지를 개선 할 수 있습니다.