G (n, p)에서 랜덤 그래프의 트리 폭의 분산은 얼마나됩니까?

이고 이 n에 의존하지 않는 상수 일 때 와 실제로 얼마나 가까운 지 찾으려고합니다 ). 내 추정치는 $tw(G)$ $E[tw(G)]$ $G \in G(n,p=c/n)$ $c>1$ $E[tw(G)] = \Theta(n)$ whp이지만 증명할 수는 없습니다. $tw(G) \leq E[tw(G)] + o(n)$

— 코스타스
소스

질문에 대한 동기는 무엇입니까? (즉, 왜이 문제에 관심이 있습니까?)

— Kaveh

글쎄 ... 나는 일부 모서리에 대한 지식이 추정 된 나무 너비에 얼마나 많은 영향을 미칠 수 있는지 궁금해하고 있었고 (각 모서리의 존재에 대한 지식은 최대 하나에 의해 나무 너비에 영향을 줄 수 있음)이 질문으로 이어졌습니다. 흥미로운)

— Kostas

특히, 이는 큰 연결된 구성 요소를 갖는 임의의 Erdos-Renyi 그래프의 단계에서 SAT (및 양자 -SAT)의 임의 사례에 대한 만족할만한 체제에서 모델 계산의 상한에 영향을 미칩니다. 이론적 컴퓨터 과학의 주제로서 랜덤 SAT에 관심을 기울이고 #SAT의 복잡성과 유사한 문제를 경계 짓기위한 트리 폭과 관련된 접근 방식에 대해서도이 질문은 동기가 부여됩니다.

— Niel de Beaudrap

예상 주위의 tw (G (n, p)) 농도를 증명하기 위해 분산을 계산할 필요는 없습니다. 두 개의 그래프 G '와 G가 하나의 꼭지점에 따라 다르면 트리 폭이 최대 하나 다릅니다. 표준 방법 인 Hoeffding-Azuma 부등식을 정점 노출 마틴 게일에 적용하여 예를 들어,

, $\mathbb{P}( | tw(G(n,p)) - \mathbb{E} tw(G(n,p))| > t) \le 3 e^{- t^2/(2 n)}$

$t = n^{0.51}$

$G(n,p)$

— 발렌 타스
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