동등성이 쉽지만 클래스 대표자를 찾기 어려운 예

객체 클래스 (예 : 그래프, 문자열)와 이러한 객체에 대한 등가 관계가 있다고 가정합니다. 그래프의 경우 이것은 그래프 동형 일 수 있습니다. 문자열의 경우, 서로의 아나그램 인 경우 두 문자열을 동등하게 선언 할 수 있습니다.

동등성 클래스의 대표자를 계산하는 데 관심이 있습니다. 즉, 두 객체 x, y, f (x) = f (y)에 대해 f () 함수를 원합니다. iff x와 y는 같습니다. (*)

아나그램의 예에서, f (s)는 문자열에서 문자를 정렬 할 수 있습니다. f ( 'cabac') = 'aabcc'입니다. 그래프 동형의 경우, 우리는 f (G)를 G와 동형 인 그래프 G '로 취할 수 있으며이 속성을 갖는 사 전형적으로 첫 그래프입니다.

이제 질문 : 두 요소가 동등한 지 여부를 결정하는 문제가 "쉬운"(폴리 시간 해결 가능)이라는 예제가 있지만 대표자를 찾는 것이 어렵습니다 (즉, f ()를 계산하는 폴리 시간 알고리즘이 없습니다 ( *)).

$x$$y$$x=y$$x$$y$$x=pq$$y=pr$$p$$q$$r$$p < \min(q,r)$

서로 다른 두 숫자가 같은지 쉽게 테스트 할 수 있습니다. gcd 계산, 중요하지 않은지 테스트, gcd가 보조 인자보다 작은 지 여부, gcd 및 보조인자가 모두 소수인지 테스트합니다.

그러나 다항식 시간 으로 대표 함수 를 계산하는 방법은 분명하지 않으며 가 와 같아야 한다는 요구 사항을 추가하면 대표 함수를 사용하여 두 소수의 대부분의 곱을 인수 로 계산할 수 있습니다. 자체 대표자가 아님).f ( x ) $f$$f(x)$$x$

mod 경우 두 정수 mod 은 같습니다 . 이 함수의 클래스 대표를 쉽게 계산할 수 있다면 확률 적 다항식 시간에 팩토링을 수행 할 수 있습니다.n x 2 ≡ y 2$x,y$$n$$x^{2} \equiv y^{2}$$n$

일반적으로 이러한 예는 입니다. 이 다항식 시간으로 결정할 수있는 동등성 관계 라고 가정하십시오 . 그런 다음 오라클을 사용한 사전 검색을 통해 문자열의 등가 클래스에서 사전 최소 요소를 찾을 수 있습니다. 인 경우 , 이것은 다항식 시간이되므로 사 전적으로 가장 작은 문자열을 클래스 대표로 사용할 수 있습니다. 이 관찰은 원래 Blass와 Gurevich에 의한 것입니다 [1].R N P P = N $P \neq NP$$R$$NP$$P=NP$

이러한 예는 또한 의미합니다 (따라서 특히 ).$UP \not\subseteq BQP$$P \neq UP$

당신이 물었던 질문은 정확히Lance Fortnow와의 논문에서 [2]. 이 백서에는 필자가 여기에 언급 한 결과와 Peter Shor가 지적한 해시 함수의 예, 몇 가지 가능한 예, 관련 결과 및 질문이 포함되어 있습니다.$PEq =? Ker(FP)$

[1] Blass, A. 및 Gurevich, Y. 동등성 관계, 불변량 및 정규형 . SIAM J. 컴퓨팅 13 (4) : 682-689, 1984.

[2] Fortnow, L. 및 Grochow, JA 복잡성 등가 문제 클래스 재검토 . 알립니다. 그리고 계산. 209 (4) : 온 748-763, 2011.도 가능 arxiv .

"대표"가 동등성 클래스에 있어야합니까?

그렇다면 충돌에 강한 암호 학적으로 강력한 해시 함수 사용하십시오.$f$

하자 경우 . 그것은 두 가지가 동일 여부를 테스트에 쉽게하지만, 주어진 경우, , 당신의 정규 프리 이미지 찾을 수있는 , 당신이 찾을 수있는 두 개의 문자열 및 등이 . 이것은 어렵습니다 (충돌 저항이 의미하는 바).$x \simeq y$$f(x) = f(y)\,$$f(x) = h$$h$$x$$y$$f(x)=f(y)\,$

물론 컴퓨터 과학자들은 충돌에 강한 암호 학적으로 강력한 해시 함수가 존재한다는 것을 증명할 수는 없지만 많은 후보가 있습니다.

첫째, 당신이 정말로 요구하는 것을 일반적으로 완전한 불변이라고합니다. 정규 또는 정상적인 형태 또한 필요 동등 모든 . (일부 저자는 표준 형식의 조건을 포함한다는 것을 의미 할 수 있기 때문에 "대리인"을 요구하는 것은 다소 모호합니다.)$f(x)$$x$$x$

둘째, 부끄러움없는 자기 진흥을 용서해주십시오. 그러나 이것은 정확히 Fortnow와 제가 작업 한 질문 중 하나입니다 [1]. 에서 결정될 수있는 모든 동등성 관계가 에서 완전한 불변성을 가지면 나쁜 일이 발생 한다는 것을 보여주었습니다 . 특히 합니다. 이 선언문의 약속 버전이 유지되면 (정리 4.6 참조) 및 입니다.$\mathsf{P}$$\mathsf{FP}$$\mathsf{UP} \subseteq \mathsf{BQP}$$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{BQP} \cap \mathsf{SZK}$$\mathsf{PH} = \mathsf{AM}$

이제 실제로 표준 형식 (동일 클래스에도있는 각 동등 클래스의 대표)을 원한다면 더 나쁜 일이 발생한다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 다항식 시간으로 결정할 수있는 모든 동등성 관계가 다 시간 표준 형식을 갖는 경우 :

• 확률 적 폴리 시간에 정수를 포함시킬 수 있음
• 에서 평가할 수있는 충돌없는 해시 함수 가 없습니다.$\mathsf{FP}$
• $\mathsf{NP} = \mathsf{UP} = \mathsf{RP}$ (따라서 )$\mathsf{PH} = \mathsf{BPP}$

또한 우리와 Blass and Gurevich에 의한 등가 관계에 관한 대부분의 진술에 대해 두 가지 방식으로 진행되는 오라클도 있습니다 [2].

"임의의"대표자 대신 동등성 클래스에서 사 전적으로 가장 작은 요소를 요청하여 동등성 클래스에서 사 전적으로 가장 작은 요소를 찾는 경우 -hard (사실, -hard) 관계는 다항식 시간 정식 형태를 갖는다 [2].$NP$$P^{NP}$

Lance Fortnow와 Joshua A. Grochow. 동등성 문제의 복잡성 등급이 재검토되었습니다 . 알립니다. 그리고 계산. 209 : 4 (2011), 748-763. 또한으로 사용할 수 arXiv : 0907.4775v2 .

[2] Andreas Blass와 Yuri Gurevich. 동등성 관계, 불변량 및 정규형 . SIAM J. 컴퓨팅 13 : 4 (1984), 24-42.

다음은 또 다른 답변의 시도입니다. 여기서 "대표"에 대한 요구 사항을 완화합니다. 실제로 동등성 클래스의 구성원 일 필요는 없지만 동등성 클래스를 식별하는 함수일뿐입니다.

하위 그룹 멤버쉽 테스트를 수행 할 수있는 그룹이 있다고 가정하십시오. 즉, 주어진 , 당신은 여부를 확인할 수 있습니다 에 의해 생성 된 하위 그룹에 .$g_1, g_2, \ldots, g_k$$h$$g_1, \ldots, g_k$

동등 클래스를 사용하여 동일한 하위 그룹을 생성하는 요소 하십시오. 두 세트가 동일한 하위 그룹을 생성하는지 여부를 쉽게 확인할 수 있습니다. 그러나 모든 하위 그룹에 대해 고유 식별자를 찾는 방법은 명확하지 않습니다. 하위 그룹 멤버쉽 테스트를 통해 블랙 박스 그룹을 가정하면 이것이 실제로 예라고 생각합니다. 그러나이 문제가 어려운 것으로 보이는 비 Oracle 그룹이 있는지 여부는 알 수 없습니다.$g_1, g_2, \ldots, g_k$

다음은 좋은 예입니다. 객체는 쌍 이며 여기서 는 SAT 수식이고 는 변수에 대한 제안 된 할당입니다. 이고 (a) 와 가 모두 만족하는 할당이거나 (b) 와 가 모두 만족하지 않는 경우 라고 말합니다 . 이것은 반사적이고 대칭 적이며 전 이적입니다. 만족할 수없는 각 는 모두 로 구성된 하나의 동등성 클래스를 갖습니다 . 각 만족할 모든 클래스 갖는다 여기서$(H,X)$$H$$X$$(H,X) \sim (H',X')$$H=H'$$X$$X'$$X$$X'$$H$$(H,X)$$H$$(H,X)$$X$ 만족스러운 과제이며 만족스럽지 못한 과제가있는 다른 수업입니다.

여부 확인 우리가 확인하기 때문에 쉽게 경우 , 다음의 경우 만족 , 다음의 경우 만족 . 그러나 주어진 클래스의 정규 계산하는 부재 과 만족$(H,X) \sim (H',X')$$H=H'$$X$$H$$X'$$H$$(H,X)$$H$$X$너무 어려워 보입니다 (어떻게 경도를 가장 잘 증명할 수 있는지 잘 모르겠습니다). SAT 인스턴스에 대한 추가 솔루션을 쉽게 구축 할 수 있으므로 하나의 솔루션을 알면 일반적으로 다른 솔루션을 찾는 데 도움이되지 않으며 정식 솔루션을 선택할 수 있습니다. (편집 : 내 말은 첫 번째 솔루션으로 추가 솔루션을 찾기위한 효율적인 알고리즘을 기대하지 않는다는 것입니다. 우리는이 솔루션을 사용하여 먼저 추가 솔루션을 문제에 "식물 화"하여 SAT 문제를 해결하기 위해 사용할 수 있기 때문에 알고리즘을 참조하십시오.)

이것은 적어도 그래프에 대해서는 공개적인 질문입니다. 나는 최근의 진전이

Babai와 Kucera, "선형 평균 시간 그래프의 표준 라벨링"FOCS, 1979

이것은 확률 맞는 표준 그래프에 대해 (예상) 선형 시간 알고리즘을 제공$1 - \frac{1}{2^{O(n)}}$

Wikipedia에서 더 많은 내용 을 읽을 수 있습니다 . Babai 알고리즘의 무작위 화되지 않은 버전은 그래프에 대한 이러한 예가 없음을 의미합니다.

크기 회로 의 두 회로가 동일한 지 테스트합니다 .$\leq N$

인지 확인하려면 입력 지점 에서만 평가하면됩니다 . 클래스 대표를 결정하려면 아마도 가능한 모든 회로 를 테스트해야 할 것입니다 . 들면 충분히 크다 이것은 지수 어렵게 등가 회로를 테스트하는 것보다.$C_1 \sim C_2$$2^n$$2^{\Omega(N \log N)}$$N$

기술적 인 세트 이론의 유명한 예 :

우리는 동치 관계를 정의 할 수 에서 에 의해 $\sim$$\mathbb R$

이것은 다소 "쉬운"동등성 관계이며, 특히 측정 가능합니다.

그러나 대표를 찾는 것은 선택의 공리가 필요하고 측정 할 수없는 Vitali 세트 를 찾는 것과 같습니다 .

유니버스의 개체를 트리플 ( 여기서 변수 에서 는 만족도 문제입니다 . 는 0 또는 1이며 는 a입니다. 길이의 비트 열 , . 즉, 에 할당인지 만족 경우, 1인지 충족하지 경우 0이다. $\Phi, b, i)$$\Phi$$x_0, \ldots, x_{k-1}$$b$$i$$k$$\Phi(i)=b$$i$$x_0, \ldots, x_k$$\Phi$$b$$\Phi$$b$

두 개의 객체가 동일한 경우 동등합니다 . 확인하기 쉽습니다.$\Phi$

등가 클래스에서 대표 객체가 사 전적으로 가장 클 수 있습니다.

대표자는 NP가 완전하다는 것을 알 수있다. 사 전적으로 가장 큰 값이 이면 는 만족스럽지 않기 때문에 SAT를 해결할 것이다 . 이 경우 , 이는 만족할 수있다.$b=0$$\Phi$$b=1$

대부분의 NP- 완전 문제는 이런 방식으로 제기 될 수 있습니다. 멤버십 인증서를 요소의 인코딩에 배치해야합니다.

나는 이것이 숙제 문제라고 생각했기 때문에 솔루션을 일찍 게시하지 않은 이유입니다. 내가 했어야했다. @ david-eppstien이 얻은 점을 사용할 수있었습니다. 선하심은 그것을 필요로하지 않습니다.

나는 당신이 묘사하는 유형의 거의 모든 문제에 대해 쉽게 달성 할 수 있다고 생각합니다.

사소한 예 : 객체가 문자열이고 가 자신과 동일하다고 가정합니다 . 두 요소가 동일한 지 여부를 결정하는 것은 항상 쉽습니다 (간단히 동일합니다). 그러나 를 선호하는 인젝 티브 하드 함수로 정의 할 수 있습니다 .$x$$f()$