완벽한 매칭을 허용하는 계산 유도 서브 그래프의 계산 복잡성

무향 및 가중 그래프 주어 및 짝수 정수 , 정점 카운트 세트 계산량 무엇 되도록 및 서브 그래프 정점 세트에 제한은 는 완벽한 매칭을 인정합니까? 복잡성이 # P- 완전합니까? 이 문제에 대한 참조가 있습니까? $G=(V,E)$ $k$ $S\subseteq V$ $|S|=k$ $G$ $S$

문제는 일정의 코스 쉬운 것을 참고 모든 크기의 서브 그래프 때문에 시간에 열거 할 수있다 . 또한 문제는 완벽한 일치 횟수를 계산하는 것과 다릅니다. 완벽한 일치를 허용하는 정점 세트는 여러 개의 완벽한 일치를 가질 수 있기 때문입니다. $k$ $k$ ${|V| \choose k}$

문제를 나타내는 다른 방법은 다음과 같습니다. 정합는이라고 $k$ 가 일치하는 경우 -matching $k$ 정점을. 두 matchings $M$ 및 $M'$ 일치 정점의 세트가' '꼭지점 집합 비 불변'는 ' $M$ 과 $M'$ 동일하지 않다. 우리는 정점-비 변형 $k$ 매칭 의 총 개수를 계산하려고합니다 .

cc.complexity-theory co.combinatorics counting-complexity

— 하아
소스

경우

k = \log n

$k=\log n$ 이러한 서브 세트의 수이고,

(\binom{| V |}{\log n}) \leq n^{\log n}

$\binom{|V|}{\log n}\leq n^{\log n}$ 및 서브 세트에 의해 유도 된 그래프를 이용하여 완전한 일치가 있는지 검사 관한 Tutte의 특성화에는

O (2^{\log n}) = O (n)

$O(2^{\log n})=O(n)$ 시간이 걸리므로 지수 시간 가설이 잘못되지 않으면 NP가 완전하지 않을 수 있습니다. 따라서 흥미로운 사례는

k = θ (\frac{n}{\log n})

$k=\theta(\frac{n}{\log n})$ 일 때입니다.이 경우 #P 완성도를 찾는 경우 순진 접근 방식은

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$ 시간이 걸립니다.

— Sajin Koroth

@Sajin Koroth : 나는 당신의 의견에서 마지막 문장을 따르지 않습니다. 예를 들어, k = √n 인 경우 순진한 접근 방식은

2^{n^{Ω (1)}}

$2^{n^{\Omega(1)}}$ 시간 이 걸리며 이것이 # P- 완료에 대한 증거를 제공한다고 생각하지 않습니다.

— Ito Tsuyoshi

@TsuyoshiIto : 그렇습니다. " 순진한 접근 방식은

시간 이 걸리 도록

선택해야합니다 ."

k

$k$

O (2^{n})

$O(2^n)$

— Sajin Koroth

@Sajin Koroth : 왜 순진한 접근법이

O (2^{n})

$O(2^n)$ 시간 이 걸리도록 k 값을 선택해야 합니까? 그렇게해도 해가되지는 않지만, 왜 그렇게해야하는지 모르겠습니다.

— 이토 쓰요시

"크기 k의 인간 유도 서브 그래프가 속성 X를 갖는 방법"과 같은 대부분의 문제가있는 것 같습니다. 어렵다. "가장자리가있다"속성도 어렵다 ( "가장자리가있다"는 결투에서 "완전한 그래프"인 "가장자리가 없다"를 해결한다. MAX CLIQUE를 해결한다). 이것은 "완벽하게 일치하는"것이 어려울 것이라고 느끼게하지만, 지금 증거를 찾는 것은 어렵습니다.

— bbejot

답변:

문제는 # P- 완료입니다. 다음 백서 2 페이지의 마지막 단락부터 이어집니다.

CJ Colbourn, JS Provan 및 D. Vertigan, 횡단 메이트에서 Tutte 다항식 계산의 복잡성, Combinatorica 15 (1995), no. 1, 1–10.

http://www.springerlink.com/content/wk55t6873054232q/

— 하아
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이 문제는 FPTRAS를 인정합니다. 이것은 그래프 , 매개 변수 , 유리수 및 을 입력으로 얻는 무작위 알고리즘 입니다 . 경우 의 개수 찾는 -vertex 세트 후 다수의 출력 되도록 그리고 시간 , 여기서 는 계산 가능한 함수이고 $\mathbb{A}$ $G$ $k\in \mathbb{N}$ $\epsilon >0$ $\delta \in (0,1)$ $z$ $k$ $\mathbb{A}$ $z'$

P (z^{'} \in [(1 - ϵ) z, (1 + ϵ) z]) \geq 1 - δ,

$\begin{equation} \mathbb{P}(z' \in [(1-\epsilon)z,(1+\epsilon)z]) \geq 1-\delta, \end{equation}$

f (k) \cdot g (n, ϵ^{- 1}, \log δ^{- 1})

$f(k)\cdot g(n,\epsilon^{-1},\log \delta^{-1})$

f

$f$

g

$g$ 다항식입니다.

이것은 Thm에서 나옵니다. 3.1 (Jerrum, 참을성 13) : 속성이 주어 그래프, FPTRAS이 집합의 크기를 근사화 위와 같은 입력과, 거기 은 가 계산 가능하고 모노톤이며 모든 가장자리 최소 그래프가 트리 폭에 제한되어 있다고 가정합니다. 가 완벽한 일치를 허용하는 그래프 속성 인 경우 세 가지 조건이 모두 유지됩니다 . $\Phi$

{S \subseteq V (G) ∣ | S | = k \land Φ (G [S])},

$\begin{equation} \{S \subseteq V(G) \mid |S| =k \wedge \Phi(G[S])\}, \end{equation}$

Φ

$\Phi$

Φ

$\Phi$

— 라두 쿠티 카피 안
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