정수 선형 프로그래밍 문제를 줄이는 솔루션에 대해 알려진 것은 무엇입니까?

각 제약 조건에 최대 4 개의 변수 (예 : -1 계수를 가질 수있는 하나의 변수를 제외하고 모두 음이 아닌 {0,1} 계수)를 갖는 선형 제약 조건 세트가있는 경우 솔루션에 대해 알려진 것 공간? 변수의 수와 제약의 수, 그리고 변수의 수의 함수로서 목적 함수의 최소값이 얼마나 작은 지 아는 것보다 효율적인 솔루션에 대해 덜 걱정하고 있습니다 (알려진 경우 알려주세요). 강제.

보다 구체적으로 프로그램은

모든 i
  에
대해 t를 최소화하고 , x_i는 양의 정수
x1 + x2 + x3-t <0
x1 + x4 + x5-t <0
...
x3 + x6-t ≥ 0
x1 + x2 + x7-t ≥ 0
...

구체적인 질문이 필요한 경우 최소 솔루션이 t <= O (max {# of variables, # of constraints})를 준수하고 sparseness에 따라 O ()의 상수를 준수하는 경우입니까? 그러나 대답이 '아니오'일지라도 그러한 문제에 대한 토론을 위해 어떤 종류의 교과서 나 논문을 연구해야하는지에 더 관심이 있으며, 이런 종류의 일에 전념하는 연구 분야가 있지만 나는 모른다. 검색 할 용어. 고맙습니다.

업데이트 : 추가 반영 (및 3 개의 변수가있는 제약 조건을 사용하는 3SAT를 ILP로 다소 간단하게 줄임으로써 생각)하면서 계수 문제가 중요하다는 것을 알고 있습니다 (효율적인 알고리즘이있는 경우). 더 정확하게 말하면, 모든 x_i 변수에는 0 또는 1 계수가 있으며 (한 제약 조건에서 최대 3 개의 1 계수가 있음) 모든 t 변수에는 -1 계수가 있으며 모든 비교에는 왼쪽에 변수가 있고 오른쪽에 0이 있습니다. 명확히하기 위해 위 예제를 업데이트했습니다.

이것에 대한 대답은 (적어도 솔루션을 선형으로 묶는 것에 대한 구체적인 질문에 대한 대답은 아닙니다) 이 문서는 http://arxiv.org/abs/1011.3493 의 일부입니다 . 정리 5.1은이 질문의 동기였습니다.

이에 대한 반례는 다음과 같습니다.

기본 케이스:

a_1 '+ b_1'-t ≥ 0
a_1 ''+ b_1 ''-t ≥ 0
a_1 + b_1 '-t ≤ -1
a_1 '+ b_1' '-t ≤ -1

재귀 적 사례 :

a_n '+ b_n'+ a_ {n-1}-t ≥ 0
a_n ''+ b_n ''+ a_ {n-1}-t ≥ 0
a_n + b_n '+ a_ {n-1}' '-t ≤ -1
a_n '+ b_n'+ a_ {n-1} ''-t ≤ -1

모두 음수가 아니어야합니다.

실제 솔루션은 a_n ''> = a_n + 2 ^ n을 만족해야 함을 증명할 수 있습니다. 정수 솔루션이 "<0"을 만족하는 경우에만 "≤ -1"을 만족시키기 때문에 "<0"-불평등을 "≤ -1"로 변경합니다.

따라서이 형식의 n 부등식은 모든 정수 해가 적어도 n에서 적어도 하나의 정수를 가질 수 있다는 성질을 가질 수 있다는 것이 도덕입니다.

계수 행렬이 완전히 단일 모듈 형 이면 일반 선형 프로그래밍을 통해 효율적인 솔루션이 존재합니다. 이것은 스파 스가 아닌 모든 ILP에 적용되지만 귀하와 같은 스파 스 ILP를 위해이 속성을 활용할 가능성이 높습니다.

이미 알고 계신 것 같습니다. 더 나은 답변을 드리겠습니다. 구체적인 내용에 대해 너무 깊이 생각하기 전에 구체적인 질문에 대한 대답은 "예"입니다. m 개의 변수에서 n 개의 부등식의 교집합은 폴리 토프를 정의합니다. 계수가 잘 동작하기 때문에 약간의 산술로 정점 좌표의 치수에 대한 상한을 계산할 수 있습니다. 이것은 당신에게 폴리 토프 내의 임의의 정수 지점의 치수에 대한 매우 쉬운 상한을 제공하므로 정수 프로그램에 대한 솔루션입니다. 이미 시도 했습니까?

특히 귀하의 문제는 약간의 구조를 가지고 있습니다 (호기심이 생겼습니다. 어디서 왔습니까?)

이제이 주제에 대한 정보를 찾는 방법에 대한보다 일반적인 질문이 있습니다. 이것은 전통적으로 수학 프로그래밍의 하위 집합 인 선형 및 정수 프로그래밍 이론에 속하는 일종의 문제입니다.

그것은 활발한 연구 분야이지만 많은 연구가 컴퓨터 공학 대신 "최적화"와 "수학적 프로그래밍"이라는 제목으로 운영 연구 부서에서 이루어집니다. 주제를 다루는 많은 교과서가 있습니다. 버클리에서 사용 하는 Wolsey의 것을 고려할 수 있습니다 . 정수 및 선형 프로그래밍을 포함하여 Greenberg 가 사용하지 않는 신화와 반례의 목록은 다음과 같습니다. 여기에는 사람들이 그러한 문제를 분석 할 때 고려해야 할 사항이 있습니다. Wolsey는 밀도가 높지만 시작하기에 합리적으로 좋은 곳입니다. ILP를 분석하고 효율성 측면에서 문제 공식을 개선하는 기술이 많이 있습니다.

내가 제안한 순진한 접근 방식을 추구한다면, 폴리 토프의 지오메트리를 분석함으로써 검색 할 용어가 폴리 토프의 정점 좌표의 크기를 제한하는 것과 관련이있을 것입니다. 이러한 용어는 폴리 토프에 대한 수학적 문헌에서 더 자주 나타납니다.

이 관심있는 계정을 찾을 수 있습니다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Polyhedral_combinatorics

특히 G. Ziegler의 글 :

0-1 폴리 토프 강의

에서:

칼라이 길; Ziegler, Günter M. (2000), Polytopes : Combinatorics and Computation, DMV Seminar, 29, Birkhäuser, ISBN 9783764363512.