고정 그래프에 대한 문제

우리가 알고 있듯이 $k$ clique 함수 $CLIQUE(n,k)$ 는 완전한 정점 그래프 의 ( 스패닝 ) 하위 그래프 $G\subseteq K_n$ 을 취하고 출력 iff 는 크릭을 포함합니다 . 이 경우 변수 는 모서리 에 해당합니다 . (Razborov, Alon-Boppana) $n$ $K_n$ $1$ $G$ $k$ $K_n$ $3\leq k\leq n/2$ 이 기능을 사용하려면 약 크기의 모노톤 회로가 필요합니다 . $n^k$

그러나 우리는 하나 가지고 있으면 고정 그래프 , 상기 단조 부울 함수 고려 서브셋 소요 정점들을 출력 일부 IFF 꼭지점 에서 의 도당 형성 . 이 경우 변수 는 꼭짓점 에 해당 하며, 함수는 표준 클릭 함수이지만 스패닝으로 제한됩니다. $G\subseteq K_n$ $CLIQUE(G,k)$ $S\subseteq [n]$ $1$ $k$ $S$ $G$ $K_n$ 는 하나의 고정 그래프 서브 그래프의 . $G$

1. 합니까 존재 -vertex 그래프 되는 보다 큰 사이즈의 회로를 필요 모노톤 ? 나는 추측한다-아니다. $n$ $G$ $CLIQUE(G,k)$ $n^{O(\log n)}$

2. 는 일부 일련의 그래프에 대한 NP-hard 문제 입니까 $CLIQUE(G_n,k)$ $(G_n\colon n=1,2\ldots)$ ? 나는 추측한다-아니다.

경우 유의 모두 최대의 클리크이다의 다음 int로서 OR로 계산 될 수 쓰레 쉬 홀드 함수의 번째 그중 시험 여부 . 따라서 $C_1,\ldots,C_r$ $G$ $CLIQUE(G,k)$ $r$ $k$ $i$ $|S_a\cap C_i|\geq k$ $r=poly(n)$ 그러면 전체 회로는 다항식 크기입니다. 그러나 기하 급수적 인 최대 크릭이있는 그래프는 어떻습니까? (도당은 최대이므로 정점을 추가 할 수 없습니다.)

꼭짓점 의 특정 그래프 에 대해 를 에 "내장"할 수 있습니다 . 특히 Bollobas와 Thomason (1981) 은 가 정점이 부분 집합 인 Hadamard 그래프 이고 두 정점 와 가 iff $CLIQUE(m,k)$ $CLIQUE(H,k)$ $H$ $n=2^m$ $H$ $[m]$ $u$ $v$ 심지어 후이고 각 그래프의 사본을 포함 동형 에서 정점. 이 사실을 에 대해 Razborov의 하한 (약 )과 결합하여 가 약 의 크기의 모노톤 회로를 필요로한다는 결론을 내릴 수 있습니까 ? 여기서 잠재적 인 문제는 그래프 이지만 $|u\cap v|$ $H$ $G$ $m$ $m^k$ $CLIQUE(m,k)$ $CLIQUE(H,k)$ $m^k$ $H$ "포함"모든 -vertex 그래프는,이 그래프는 하지 상의 같은 정점을 설정합니다. 그리고 Razborov의 주장은 양의 입력과 음의 입력 ( cliques와 완전한 보수 -partite 그래프의 보완 )이 동일한 정점 집합 에 대한 그래프라는 것을 요구합니다. 더욱이, 모든 양의 입력 ( cliques)은 하나의 동일한 고정 clique 의 동형 사본 일뿐입니다. $m$ $k$ $(k-1)$ $k$ $k$

3. 어떤 아이디어? 그런 종류의 문제를 고려한 사람이 있습니까? 고정 그래프의 하위 그래프에 대한 의사 결정 문제입니다 . 또는 하나의 고정 된 (만족스러운) CNF 의 하위 CNF에 대한 SAT 문제 (일부 리터럴을 제거하여 얻음)?

동기 부여 : 이러한 종류의 문제는 조합 최적화 알고리즘의 복잡성과 관련이 있습니다. 그러나 그들은 그들 자신에게 흥미있는 것 같습니다. 왜 모든 그래프에서 효율적인 알고리즘을 찾아야 합니까? 실제로, 우리는 일반적으로 하나의 큰 그래프 (국가의 거리 네트워크 또는 페이스 북 등)의 특성에 관심이 있습니다.

비고 1 그래프 경우 인 양자 다음 부등식의 정점 에지 입사 행렬 모두 완전히 unimodular이며, 한 선형 프로그래밍을 통해 유도 된 서브 그래프에서 발생하는 문제를 해결할 수 있습니다 . 따라서 이분 그래프 , $G=(L\cup R,E)$ $x_u+x_v\leq 1$ $(u,v)\not\in E$ $G$ $G$ $CLIQUE(G,k)$ 에는 작은 (단색이 아닌) 회로가 있습니다.

2두기 의 경우에서, 표시를 이분 그래프 , 질문 1에 대한 응답이 실제로 NO 일 "해야하는"해당 다음 모노톤 Karchmer-Wigderson 게임 만하면 통신의 비트. 하자 전체 양자 서브 그래프의 정점의 가장 큰 숫자 . 앨리스는 설정 가져 빨간색 노드를, 밥 세트 등이 파란색 노드의 . 목표는 사이 가장자리가 아닌 것을 찾는 것입니다 $G$ $G$ $O(\log n)$ $k$ $G$ $A$ $B$ $|A|+|B|>k$ $A$ 및 . $B$

cc.complexity-theory optimization circuit-complexity

— Stasys
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more thoughts (1) it seems like you might get a similar result defining a "filter" function that has same # of variables as edges and "filters" edges of the fixed graph based on 0/1 values of the boolean variables....? this might decrease the analysis somewhat due to the induced graph construction that moves from edges to vertices. (2) a key simpler question is embedded in your question which alone is worthwhile addressing. what are some graphs with exponential maximal cliques? the hadamard example may not suffice because its so "large".

— vzn

was looking into something vaguely similar recently and ran across this interesting factoid: "A greedy clique decomposition of a graph is obtained by removing maximal cliques from a graph one by one until the graph is empty. We have recently shown that any greedy clique decomposition of a graph of order

n

$n$ has at mostn

n^{2} / 4

$n^2/4$ cliques." --mcguinness

— vzn

@vzn: To your last question. There is a simple construction (don't remember of whom). Take

n / 3

$n/3$ copies of vertex-disjoint "anti-trianges" (triples of vertices with no edges between them), and put edges between all vertices of any two anti-tringles. The number of maximal cliques is then

2^{n / 3}

$2^{n/3}$ , and this is optimal (no more is possible).

— Stasys

@vzn: On McGuinness result. As I understood, he decomposes all edges into a small number of edge-disjoint maximum (size) cliques. But it may happen that the maximum clique of the induced subgraph does not lie in any of them. Still, the result seems to be in the "right direction".

— Stasys

About remark 2: when you say looking for a clique in a bipartite, do you mean a complete bipartite?

— MassimoLauria

고정 그래프 인지 아닌지 나무와 같은 해상도 로 증명 하는 문제에 대해 조사했습니다. $G$ has a clique of size $k$ (where $k$ is usually small). In particular we discovered that refutations of size $n^{\Omega(k)}$ are needed for a large class of graphs.

You can find the paper Parameterized Complexity of DPLL Search Procedures at this link.

— MassimoLauria
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A very nice result! Actually, my question arose when trying to show the same result for tree-like cutting plane (CP) refutations for the (clique) problem. For tree-like derivations we have two (only?) tools: (1) communication complexity arguments, and (2) Player-Delayer games of Pudlak and Impagliazzo. Remark 2 implies that (1) will (provably) fail for the Clique problem. Is there some analogy of (2) in the case of CP proofs?

— Stasys

I believe this paper may answer your questions: http://arxiv.org/abs/1204.6484

The paper defines families of NP hard 3SAT problems, such that the structure of the formula is fixed for every n, and the input is the polarity of the formula.

Using the standard reduction from 3SAT to CLIQUE (each 3CNF clause defines a set of 8 possible assignments (or 7 satisfying assignments), with edges between non conflicting assignments), there is a graph such that after removing one vertex for each clause, it is NP hard to find the maximal clique (or even to approximate its size, using graph products or derandomized graph products)

— user15669
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re Q3, there is some empirical work on the "backbone" and possible "backdoors" of SAT problems. the backbone is the set of literals that are true in every satisfying assignment. A backdoor into a SAT problem is a (hopefully small) set of variables which provide a “short cut” into solving the problem. these two structures would probably be helpful and/or key in understanding what you refer to as "sub-CNFs" or CNFs with some variables removed. but also DP, davis putnam algorithm can be seen as systematically exploring many "sub-CNFs" of the CNF to solve it.

[1] Backbones and Backdoors in Satisfiability by Kilby et al

— vzn
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Thanks for the reference! Indeed, these two concepts seem to be important in SAT solvers. The "backdoors" in our case correspond to sets of variables (=vertices) whose setting to 0/1 makes clique problem simple. If there is a small (logarithmic) backdoor

S

$S$ , then we have a small circuit (just by trying all assignments to

S

$S$ ). But I admit that the backdoors are large for most graphs.

— Stasys