답변:
쉬운 증거를 가진보다 일반적인 진술은 다음과 같은 문제가 이미 NP- 완전하다는 것입니다.
입력 : 그래프 G, G의 3 색, 정수 k.
질문 : G에는 독립적 인 크기 k 세트가 있습니까?
이것은 독립 세트 (Independent Set)의 감소로 증명 될 수 있습니다. 그래프 G를 가져 와서 일부 모서리를 선택하고 두 번 세분화하면 (즉, 모서리 {u, v}를 경로 u, x, y, v로 x와 y에 차수가 2 인 경우) G의 독립 수를 관찰하십시오. 정확히 1 씩 증가합니다. (G에서 독립적 인 모든 집합에 정확히 x 또는 y 중 하나를 추가 할 수 있으며 그 반대도 어렵지 않습니다.) 따라서 m 모서리가있는 그래프 G의 크기가 k 인 독립된 질문은 질문과 같습니다. G에서 모든 모서리를 두 번 세분 한 결과 인 G '의 크기는 k + m의 독립적 인 집합을 갖습니다. 그러나 G '를 다음과 같이 세 개의 독립적 인 세트로 분할하면 G'의 3 색을 쉽게 얻을 수 있습니다. 하나는 G에 있던 꼭짓점을 포함하고 다른 두 클래스는 각각 " 세분화 기 " 각 모서리의 정점. 따라서이 절차는 3 색으로 그래프 G '를 구성하여 독립 숫자를 계산하면 원래 그래프 G의 독립 숫자를 얻을 수 있습니다.
Uehara (실제로는 보지 못한 논문)의 "3 연결된 입방 형 평면 그래프 및 그 응용 프로그램에서 NP- 완전 문제"참조는 삼각형이없는 평면 그래프에서도 독립 세트가 NP- 완전 함을 증명합니다. 그러나 Grötzsch의 정리에 따르면 항상 3 색을 사용할 수 있으며 3보다 적은 수의 색상을 테스트하는 것은 모든 그래프에서 쉽게 수행 할 수 있으므로 P에서 최적으로 색상을 지정할 수 있습니다.
원 그래프 는 반대의 특성을 갖습니다. 그러면 채색은 NP가 완료되지만 독립적 인 설정 문제는 쉽습니다.
오웬 머피 노트 :이 아니라 새 응답하지만 제 쉽게 얻을 삼각형 프리 차 평면 그래프 INDEPENDENT SET의 경도에 대한 참조를 해명없는 큰 둘레와 그래프 독립 집합 컴퓨팅 , 개별 응용 수학 35 (1992) 167-170 은
INDEPENDENT SET는 주어진 상수 및 대해 적어도 의 입방 형 평면형 정점 그래프에 대해 NP- 완료입니다 .c n k c > 0 k , 0 ≤ k < 1
(특히, INDEPENDEN SET는 상수 대해 길이가 미만인 입방 형 평면 그래프의 경우 NP- 완료입니다. )c > 0
@BartJansen이 지적한 축소는 머피의 정리 증명에서 특별한 경우입니다.
반대 속성의 경우 @DavidEppstein이 언급 한 선 그래프 는 원 그래프보다 더 자연스러운 것으로 보입니다. 선 그래프의 경우 COLORING은 NP-complete이지만 INDEPENDENT SET는 쉽습니다.