희소 그래프의 둘레를 찾기위한 최적의 알고리즘?

희소 무향 그래프 의 둘레 를 찾는 방법이 궁금합니다 . 드문 드문해서 나는 합니다. 최적이라는 것은 가장 복잡한 시간을 의미합니다.$|E|=O(|V|)$

무 방향 그래프에 대한 Tarjan의 알고리즘 에 대한 일부 수정에 대해 생각 했지만 좋은 결과를 찾지 못했습니다. 실제로 에서 2- 연결된 구성 요소를 찾을 수 있다면 첫 번째 부분에서 얻을 수있는 일종의 유도에 의해 둘레를 찾을 수 있다고 생각했습니다. 그래도 잘못된 길을 가고 있습니다. (즉, ) 보다 무조건 더 나은 알고리즘을 환영합니다.Θ ( | V | 2 ) o ( | V | 2$O(|V|)$$\Theta(|V|^2)$$o(|V|^2)$

무 방향 무가 중 그래프에서 거스 문제에 대해 내가 아는 것은 다음과 같습니다. 우선, 둘레가 고르면 시간으로 결정할 수 있습니다. 이것은 Itai와 Rodeh (A. Itai와 M. Rodeh)의 오래된 결과입니다. 그래프에서 최소 회로 찾기 SIAM J 컴퓨팅, 7 (4) : 413–423, 1978.). 아이디어는 다음과 같습니다. 그래프의 각 정점에 대해 첫 번째 사이클이 닫힐 때까지 BFS를 시작한 다음 중지하고 다음 정점으로 넘어갑니다. 발견 된 최단 사이클을 반환합니다. 둘레가 가장 짧은주기 인 경우 가장 짧은주기가 발견됩니다. 특히 그래프가이 분식 인 경우 항상 둘레를 계산합니다. 그러나 둘레 g 가 홀수이면 길이 g 또는 g $O(n^2)$$g$$g$ , 그래서 당신은으로 해제 할 수있다 (1) .$g+1$$1$

홀수 둘레의 실제 문제는 필연적으로 그래프에 삼각형이 있는지 알고리즘이 감지 할 수 있어야한다는 것입니다. 이를위한 가장 좋은 알고리즘은 행렬 곱셈을 사용 합니다. n 개의 노드와 m 개의 모서리 에있는 그래프의 경우 min { n 2.38 , m 1.41 ) 시간입니다 . Itai와 Rodeh는 또한 밀도가 높은 그래프에서 삼각형을 찾을 수있는 알고리즘이 둘레를 계산할 수 있음을 보여 주었으므로 O ( n 2.38 ) 시간 둘레 알고리즘이 있습니다. 그러나 희소 그래프에서 둘레의 런타임은 삼각형을 찾는 것만 큼 좋지 않습니다. 우리가 일반적으로 아는 최고는 O ( $O($$n^{2.38}, m^{1.41})$$n$$m$$O(n^{2.38})$ . 특히, 가장 어려운 것은 m = O ( n ) 인 그래프에 대해 o ( n 2 ) 시간 알고리즘을 찾는 것입니다.$O(mn)$$o(n^2)$$m=O(n)$

$2$$n^{1+1/k}$$2k$. 따라서 그래프가 밀도가 높을수록 둘레에 대한 근사치를 쉽게 찾을 수 있습니다. 그래프가 매우 희박한 경우 둘레는 본질적으로 임의로 클 수 있습니다.

평면 그래프의 둘레를 찾는 것은 흥미로운 역사를 가지고 있습니다. 선형 시간 알고리즘 및 개선 기록은 Chang 및 Lu 의이 백서 를 참조하십시오 .

의 둘레 찾을 수있는 일반적인 방법이 없다 어떤 스파 스 그래프. 더 나은 범위를 달성하기 위해 종종 관련된 특수 분해 또는 임베딩을 살펴 봐야합니다. 그래프가 "아마도"희박한 경우 종종 좋은 구조가 있습니다. 예를 들어, 경계 트리 폭 그래프는 희소하며 연관된 트리 분해가 있습니다.

$o(n^2)$