3 차원 구면의 VC 치수

다음 세트 시스템의 VC 치수를 찾고 있습니다.

우주 $U=\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$되도록 . 집합 시스템 각 집합 은 구에 해당하므로 해당 구에 포함 된 경우에만 집합 에 의 요소가 포함됩니다. 에서 .$U\subseteq \mathbb{R}^3$$\mathcal{R}$$S\in \mathcal{R}$$\mathbb{R}^3$$S$$U$$\mathbb{R}^3$

내가 이미 알고있는 세부 사항.

1. VC 치수는 4 이상입니다. 이는 가 4 면체의 4 모서리이면 의해 산산이 부서 질 수 있기 때문입니다.$p_1,p_2,p_3,p_4$$\mathcal{R}$

2. VC-치수 설정 시스템에 내장 될 수 있기 때문이다 5. atmost이다 에 구체와 에 초평면에 대응 . 초평면 에는 VC 차원 이있는 것으로 알려져 있습니다.$\mathcal{R}^4$$\mathcal{R}^3$$\mathcal{R}^4$$\mathcal{R}^d$$d+1$

쉬운 주장은 다음과 같습니다.

세트가 있다고 가정 $U$공으로 산산조각 낼 수있는 5 점 모든 세트에$S \subseteq U$공이있다 $B$ 성 $B \cap U = S$ 그리고 공 $B'$ 성 $B' \cap U = U \setminus S$. 따라서,$B \cap B'$ 포인트가 없습니다 $U$. 만약$B \cap B' = \emptyset$, $B$ 과 $B'$평면으로 분리 할 수 ​​있습니다. 그렇지 않으면, 표면의 교차점$B$ 과 $B'$원입니다. 원이 놓인 평면이 분리됩니다$S$ ...에서 $U \setminus S$. 따라서,$U$ 반 공백으로 모순 될 수 있습니다.

더 높은 차원에서 동일한 주장은 볼의 VC 차원이 반 공간의 VC 차원과 동일하다는 것을 보여줍니다.

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