양자 계산-QM의 가정

나는 Nielsen-Chuang 책에서 일반적으로 양자 계산에 대해 (독립적으로) 배우기 시작했습니다.

나는 양자 역학의 측정 ​​가정에 무슨 일이 일어나고 있는지 나를 도울 시간을 찾을 수 있는지 물어보고 싶었다. 나는 가정에 의문을 제기하지 않고있다. 측정 후 시스템 상태의 값이 나오는 방법을 는 것 입니다.$M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$

그 가정이 말한 것처럼 보이지만, 왜 이것이이 표현인지는 어색합니다. 여기에 묻는 것이 의미가 있는지 모르겠지만, 어떤 이유로 인해 더 이상 읽지 못하게하는 것으로 보입니다.

이것이 "설명"인지는 모르겠지만 유용한 "설명"입니다.

보다 일반적으로 프로젝션 측정보다 항상 작업자를 측정합니다 . (프로젝터는 특별한 경우입니다.) "운영자를 측정"한다는 것은 무엇을 의미합니까?

글쎄, 연산자는 종종 '관찰 가능한'물리량에 해당합니다. 예를 들어, 양자 역학에서 가장 중요한 것은 에너지입니다. 그러나 각도 모멘텀, 자기장의 z 성분 등과 같은 다른 양을 (간접적으로) 측정 할 수도 있습니다 . 측정되는 것은 항상 실제 결과를 제공합니다 .-- 원칙적으로 확실한 결과 (예 : 전자는 '스핀 -1/2'와 달리 '스핀 +1/2'상태 또는 수소 원자의 접지 상태와 반대되는 첫 번째 여기 된 에너지 레벨 등), 각각 의 사전 가능한 결과 약간의 확률로 실현됩니다.

우리는 측정의 각 실제 결과를 부분 공간에 할당합니다. 이를 수행하는 방법은 Hermitian 연산자, 즉 실제 고유 값을 다른 하위 공간에 연결하는 하위 연산자를 설명하는 것 입니다. 하위 공간은 전체 Hilbert 공간에 합산됩니다. 프로젝터는 실제 값이 0과 1 인 연산자입니다. 즉 , 벡터가 지정된 부분 공간 (값을 1로 함) 또는 직교 보완 (값을 0으로 함)에 속한다고 설명합니다. 이 Hermitian 연산자는 관측 가능 하며 고유 공간은 관측 가능 값이 "정확한"값을 갖는 것입니다.

그러나 고유 벡터가 아니며이 관측 값에 대해 "정확한"값이없는 벡터는 어떻습니까? 여기에 설명의 설명이없는 부분이 있습니다 : 우리는 그것들을 고유 공간 중 하나로 투영하여 잘 정의 된 값을 가진 고유 벡터를 얻습니다. 우리가 적용하는 투영은 무작위로 결정됩니다. 확률 분포는 익숙한 Born 규칙에 의해 제공됩니다.

$$\Pr\limits_{|\psi\rangle}\bigl( E = c \bigr) \;=\; \langle \psi | \Pi_c | \psi \rangle \;,$$

여기서 는 '관찰 가능한 수량' E 의 c- 고유 공간에있는 프로젝터입니다 ( 연산자 ). 포스트 측정 상태는 일부 국가의 투사 위에 몇 가지 관찰의 고유 공간 . 그리고 만약 은 사전 측정 상태입니다. 은 측정 후 상태이고 는 측정 된 '실제 결과'입니다 ( 즉 , 사전 측정 상태가 실제로 투영 된 고유 공간). 비례 결과가 있습니다. A = ∑ $\Pi_c$| ψ ⟩ | ψ 0 ⟩ | ψ 1 ⟩ Π $A = \sum_c \; c \cdot \Pi_c$$|\psi\rangle$$| \psi_0 \rangle$$| \psi_1 \rangle$$\Pi_c$

$$| \psi_1 \rangle \;\propto\; \Pi_c | \psi_0 \rangle$$

방금 설명한 투영 규칙에 의해. 이것이 공식에 프로젝터가있는 이유입니다.

일반적으로 벡터 은 단위 벡터가 아닙니다. 다른 단위 벡터에 의해 측정 후 상태를 설명하고자하므로$| \psi'_1 \rangle = \Pi_c | \psi_0 \rangle$

$$\|\;|\psi'_1\rangle\;\| = \sqrt{\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle} = \sqrt{\langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle} \;,$$

이는 결과가 우선적으로 발생할 확률의 제곱근입니다 . 그래서 우리는 귀하의 질문에 대한 공식을 복구합니다.

$$| \psi_1 \rangle \;=\; \frac{\Pi_c | \psi_0 \rangle}{ \sqrt{ \langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle }} \;.$$

(이 공식이 약간 서투른 것처럼 보이면 밀도 연산자로 양자 상태를 표현할 경우 모양과 느낌이 조금 나아진다는 점에 유의하십시오.)

추가 편집 : 위의 POVM에 대한 설명으로 해석되어서는 안됩니다. "양의 연산자 값 측정"은 수집 { E _c  } _{c  ∈ C} 에서  다양한 측정 가능 관측 값 E _c 의 기대 값 을 설명하는 것으로 더 잘 보입니다  .

나는 Akash Kumar의 질문에 대한 답변을 하나 더 제공 할 것입니다. 이는 (특히 학생들에게) 양자 역학의 신비를 다루는 좋은 접근 방식은 먼저 고전 역학의 신비를 극복하는 것입니다.

이와 관련하여 권장되는 시작 교과서 (페이퍼 백에서 사용 가능)는 Stephanie Frank Singer의 "Symmetry in Mechanics : Gentle Modern Introduction"입니다 (단, 명확하게 작동하는 120 개의 문제 포함). 대칭 기하학과 Lie 그룹 이론의 주요 현대 아이디어를 자신있게 수용합니다.

여기서 중요한 점은 20 세기 초 양자 역학과 고전 역학이 역학의 두 가지 다른 이론처럼 보였다는 것입니다. 그러나 우리가 "해밀턴 역학이 위상 공간의 기하 구조이고 위상 공간이 상징적 매니 폴드 구조를 가짐"이라는 Vladimir Arnold의 최대치를 진지하게 고려한다면, 우리는 Ashtekar / Schilling 격언을 최우선으로 생각합니다. 양자 역학의 교과서 처리는 주로 기술적 인 편리함과 필수 요소들-국가의 다기관, 상징적 구조 및 리만 통계 (Riemannian metric)-는이 선형성을 공유하지 않는다 "고 우리는 더 나아졌다. 트로이 실링의 1996 년 논문은 "

고전 / 양자 역학이 통합 된 기하학적 접근 방식은 주로 고전 역학이 보인다하여 성공 더 신비하고 양자 역학이 보인다 덜 신비 ... 그리고 학생들이 학습 한 실행 가능한 방법 (많은) 것을 알고하는 것이 좋다 모두 의 종류 역학.

아직 보지 못했다면 Scott Aaronson의 강의 노트 "Democritus 이후의 퀀텀 컴퓨팅" , 특히 강의 9를 추천 합니다. 그들은 저를 비전문가로 도왔습니다. 나는 그의 프레젠테이션을 여기 와 여기의 요점으로 증류하려고 노력했습니다 .

특정 쿼리에 관해서는 Born Rule을 사용하여 간단한 예제를 계산하고 실제로 측정 가정이 어떻게 작동하는지 확인할 수 있다면 직관을 구축하는 데 도움이된다고 생각합니다.

"i 번째 결과를 측정 할 확률은 상태 벡터의 i 번째 요소의 진폭의 제곱입니다-연산자의 고유 벡터로 기본을 변경하는 경우"라고 생각하는 것이 가장 쉽다는 것을 알았습니다.

이것은 또한 진폭의 제곱이 1이되어야하기 때문에 양자 역학이 복소수의 확률이라는 직관과 깔끔하게 연계됩니다.

양자 컴퓨팅을 연구하는 한 Shor 알고리즘에 대한이 논의를 확인하고 싶을 수도 있습니다 .

추가.

질문 형식을 다시 고려한 후 ( 예 : 분모 의 M ^† M- 예 를 들어 프로젝터에 적합한 단일 운영자 M과 반대) Nielsen과 Chaung 사본을 다시 검토 한 후 여기에 몇 가지 추가 세부 정보가 있습니다. 이전 답변으로 다루지 않았습니다. (길이 때문에이 답변을 별도의 답변으로 게시하고 있으며 이전 답변보다 '설명'이 적기 때문입니다.)

큐 비트 측정 유일한 수단은 가정 X는 간접적 일 : ancilla와 '약한'상호 작용 에 측정 한 다음, . 우리는 이것들에 대해 X 를 측정하는 방식으로 이야기하고 싶습니다 . 그러한 측정을 X 만으로 어떻게 설명 할 수 있습니까? 음 : 초기 상태에서 A 를 쉽게 준비 하고 을 수행하고 X 를 제어로, A 를 대상 으로하여 다음과 같은 제어 된 단일을 수행 할 수 있다고 가정 하십시오 .$|+\rangle \propto |0\rangle + |1\rangle$

$$U \;=\; \left[\begin{matrix} \quad1\quad & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \quad1\quad & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\tfrac{\pi}{12}) & \sin(\tfrac{\pi}{12}) \\ 0 & 0 & -\sin(\tfrac{\pi}{12}) & \cos(\tfrac{\pi}{12}) \end{matrix}\right]$$

그런 다음 표준 기준으로 A 를 측정 합니다 ( 이제 A 는 측정 결과를 저장합니다). 이는 다음과 같이 X 상태를 변환합니다 .

$\begin{align*} |\psi_0\rangle_X \;=&\; \alpha|0\rangle_X + \beta|1\rangle_X \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2}|0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac{\sqrt 3}2|0\rangle_A + \tfrac12|1\rangle_A\bigr) \\\\=&\; \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\sqrt3\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |0\rangle_A \quad+\quad \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |1\rangle_A \\\\\mapsto&\; \begin{cases} |\psi_1\rangle_X \otimes |0\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\sqrt 3\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |0\rangle_A & \;\text{for the result 0; or } \\ |\psi_1\rangle_X \otimes |1\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |1\rangle_A & \;\text{for the result 1.} \end{cases} \end{align*}$

위의 방정식에서 측정 결과가 c 이면 X 의 최종 상태 은 비례 합니다.| ψ ' 1 ⟩ = M의 C | ψ 0$|\psi_1\rangle$$|\psi'_1\rangle = M_c |\psi_0\rangle$

$$M_0 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{\sqrt 3}{2} |1\rangle\langle 1|\;,\qquad M_1 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{1}{2} |1\rangle\langle 1|\;;$$

측정 결과를 얻는 확률이 각 경우에 .$\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle$

이것은 투영 측정을 설명하는 것과 같은 방식으로 X 의 변환을 설명하는 데 매우 가깝습니다 . 그러나 이것은 어떤 종류의 측정입니까? 음 :이 절차의 여러 반복 결과에 대한 통계를 수행 할 수 있고 X 가 표준 기준 인 경우 '0'결과를 얻을 때 편향이 있음을 알 수 있습니다. 더 자주 얻습니다. 때 X는 상태 초기에 . 측정 결과가 또는 와 같이 더 많이 분포되어 있는지 구별하기에 충분한 시간을 샘플링 할 수 있으면 큐 비트가 초기 상태인지 여부를 높은 확률로 확인할 수 있습니다$|1\rangle$$(\frac12,\frac12)$$(\frac34,\frac14)$$|0\rangle$ 또는 상태 .$|1\rangle$

확률 및 업데이트 공식과 투영 측정의 유사성, 측정 통계를 사용하여 측정 된 상태에 대한 정보를 얻을 수 있다는 사실은 '측정'개념을 일반화하여 다음과 같은 절차를 포함시킵니다. 위 : 우리는 하나, 둘 또는 그 이상의 운영자 (실제로 'Kraus 운영자', CPTP 맵과 관련된 객체)에 의해 가능한 측정 결과를 설명 할 수 있으며 결과는 약간 일반화 된 Born 규칙에 의해 설명됩니다.$M_c$

$$\Pr\limits_{|\psi_0\rangle}(\text{result}=c) \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle \;,$$

여기서 는 측정 및 관련 업데이트 규칙과 관련된 Kraus 연산자입니다.$M_c$

$$|\psi_1\rangle \;=\; \frac{M_c |\psi_0\rangle}{\sqrt{\langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle}} \;.$$

확률을 보존하기 위해서는 (확실히 하나 이상의 측정 결과가 발생하도록) 합니다. 이것은 Nielsen과 Chaung이 설명한 귀하의 질문에서 가장 일반적인 형태입니다. (이것은 밀도 연산자로 상태를 설명 할 때 약간 더 좋아 보입니다.)$\sum_c M_c^\dagger M_c = I$

총론.

일반적으로, 언제 우리가 ancilla (또는 ancillas의 컬렉션) 소개 것을 , 상호 작용 큐 비트를 (또는 여러 개의 큐 비트의 등록) X를 함께 단일로 다음에 투영 측정을 수행 을 ,이 측정의 종류에 상승을 제공 의 X ; 측정 운영자이어서 포지티브 semidefinite 연산자 일부 컬렉션에 의해 설명 될 수 되도록 (또 다시 확률이 보존되도록).$M_c$$\sum_c M_c^\dagger M_c \;=\; I$

여기에 설명 된보다 일반적이고 약한 측정 값은 POVM과 더 밀접한 관련이 있으므로, 연산자 를 제공하고 연산자를 제공함으로써 변환을 명시 적으로 선택하지 않고도 측정 확률을 '추상적으로'쉽게 설명 할 수 있습니다 이것들은 확률을 계산하기 위해 태어난 규칙입니다. 위와 이전 응답에서 모두 언급했듯이 POVM은 시스템에 대한 통계적으로 사용 가능한 정보를 설명하는 것으로 간주 될 수 있습니다.$M_c$$E_c = M_c^\dagger M_c$

이런 방식으로 Kraus 연산자 (및 위의 '측정 결과 레지스터' A )와 관련하여 측정을 생각하면 CPTP 맵의 측정 개념을 가정 할 수 있습니다. 이것이 제가 즐기는 아이디어입니다. (그러나 이것이 분석적 관점에서 실제로 변화를 일으키지는 않으며 CPTP 맵에 아직 익숙하지 않은 경우 걱정할 것이 아닙니다).

Kraus Operators에 관한 Niel de Beaudrap의 답변은 매우 좋았습니다. Nielsen과 Chuang 교과서와 관련하여 이것은 2 장, 8 장, 그 다음 에 중재 장을 읽어야한다는 것을 의미합니다 .

더욱이 Kraus 연산자 표현에는 Lindbladian 연산자라는 무한한 한계가 있습니다. 대체로 Lindbladian 연산자는 Lie 대수가 Lie 그룹에 해당하는 크라우스 연산자입니다. Carlton Caves의 온라인 노트 "완전히 긍정적 인지도, 긍정적 인지도 및 Lindblad 형태"는이 자료의 대부분을 다루고 있습니다.

Kraus 연산자 대신 무한 Lindbladian 연산자와 독점적으로 작업 할 경우의 이점은 Lindbladians가 비 힐버트 양자 상태 공간으로 자연스럽게 철회한다는 것입니다. 여기에는 양자 화학 및 응축 물질 물리학에서 보편적으로 사용되는 텐서 네트워크 상태 공간이 포함됩니다. 또한 풀백 기술은 문자열 이론에서도 보편적으로 사용됩니다.

양자 역학에 대한이 비정형적인 힐버트 설명을 개발하는 교과서는 존재하지 않습니다. 위의 참고 문헌을 종합적으로 다루는 교과서는 John Lee "Smooth Manifolds", Frenkel 및 Smit "Algorims에서 Applications에 이르기까지 분자 시뮬레이션 이해"및 Kloeden 및 Platen "Stochastic Differential Equations의 수치 해법"입니다.

이것이 많은 것을 읽는 것은 사실입니다 ... 그리고 이것이 기하학적 양자 역학이 학부 수준에서 가르치지 않는 이유입니다. 학부생들이 양자 역학 시스템의 상태 공간이 선형 벡터 공간이라는 고정 된 개념을 얻기가 너무 쉽기 때문에 유감입니다. 대규모 실제 계산에서는 이것이 사실이 아니더라도 말입니다.

자연이 사용하는 국가-공간에 관해서는, 아무도 모른다 — 국소 (탄젠트-공간) 양자 선형성에 대한 실험적 증거는 상당히 강하지 만, 전 세계 (힐버트-공간) 양자 선형성에 대한 증거는 상당히 약하다. 특히, 많은 교과서가 양자 선형성의 증거로 보유하고있는 고정밀 분자 빔 양자 역학 실험은 저 차원 텐서 네트워크 상태 공간에서 ~ 1 / 2 ^ {65}의 필요한 상대 정밀도로 시뮬레이션 할 수 있습니다. 거의 완벽한 동적 선형성을 대체하는 거의 완벽한 동적 대칭성이 있습니다.

위와 같은 이유로 21 세기 학생들은 20 세기 교과서를 전적으로 액면가로 받아들이지 말아야합니다. 그러나 실제로 어떤 21 세기 학생이 다른 방식으로 그것을 원할까요?

위의 내용은 양자 시스템 엔지니어가 기하학적 및 대수적 자연성을 융합하고 일반적으로 고전, 양자 및 하이브리드 역학 시스템에 적용되는 수학적 도구 세트를 채택한 방법입니다.

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편집 추가 : 실제 양자 시뮬레이션에 대한 기하학적 접근의 타당성 테스트로서, Quantum Systems Engineering (QSE) 그룹은 Charlie Slichter의 고전적인 교과서 자기 공명 원리를 3 장 " 자기 쌍극 확대 및 분극 전송 의 향상된 버전으로 보완했습니다. 딱딱한 격자 ".

이 기하 적 전사는 기하학적 역학에서 여러 개의 열린 질문을 자연스럽게 가리킨다. 예를 들어 MathOverflow 질문 " 양자 역학 시뮬레이션에서 포아송 브래킷의 대칭 (Riemannian) 아날로그 란 무엇입니까? "

우선 관측자가 관측기로 표현하는 이유는 무엇입니까? 고전 역학에서 관측 가능 공간은 위상 공간에서 실제로 가치가있는 함수입니다. 시스템에서 에너지 또는 운동량과 같은 값에 대한 정보를 추출하지만 영향을 미치거나 방해하지 않습니다. 관찰자가 시스템의 일부인 경우 측정은 물리적 프로세스이며 시스템의 발전을 바꿀 수 있습니다. 유한 한 비 무한 시간 진화가 단일 (즉, 총 확률을 유지)하기 위해서는 무한 시간 진화는 에르 미트 (Hermitian)이어야한다. 이것은 스톤의 정리입니다. 양자 역학의 연산자가 왜 Hermitian인지 설명합니다.

이것이 의미가 있다면 공식은 다음 두 가지입니다.$M\mid\psi\rangle / \sqrt{\langle\psi\mid M^\dagger M\mid\psi\rangle}$

• $M$ 은 관측 가능한 측정 프로세스의 무한한 시간 진화를 설명합니다. 의 후속 작업 은 이며, 이중성으로 인해 의 후속 작업 은 입니다.$\mid\psi\rangle$$M\mid\psi\rangle$$\langle\psi\mid$$\langle\psi\mid M^\dagger$
• 규범 은 상태의 총 확률입니다. 이전 점과 결합하여 후속 작업의 총 확률은 입니다. 제곱근으로 나누면 상태가 정상화됩니다.$\langle\psi\mid\psi\rangle$$\langle\psi\mid M^\dagger \ M\mid\psi\rangle$

글쎄, 나는 양자 가정에 관한 Akash Kumar의 질문과 관련된 추가 참고 자료를 제공 할 것이며, 학생들이 고전 및 양자 역학을 연구하기 위해 잘 개발 된 많은 프레임 워크를 이해해야하는 수학을 배우도록 장려합니다.

"Theorem : Operator-Sum Representation의 단일 자유"(Nielsen-Chuang 섹션 8.2)를 사용하여 Nielsen-Chuang 텍스트가 시작되는 부분부터 시작하겠습니다. Nielsen과 Chuang의 텍스트는이 정리의 실제 적용이 양자 오류 정정 이론에서 왔으며, 여기서 양자 오류 정정에 대한 이해가 중요하다고 지적했다. 그러나 Nielsen-Chuang 텍스트는 침묵합니다.

지금까지 스택 교환에 제공된 답변은이 "단일 자유"를 이해하는 데 큰 도움이되지 않습니다. 아인슈타인과 보어가 "스 푸크 하프 Fernwirkungen"이라고 부르는 것과 관련된 양자 역학의 모든 측면에서 핵심적인 것으로 밝혀졌습니다. 양자 역학의 (어리석은 행동). 특히,이 단일 자유는 양자 판독, 양자 오류 정정 및 양자 암호 해독의 핵심이며, 이는 TCS 학생들이 양자 역학을 연구하는 주된 이유 중 세 가지입니다.

더 배우려면 학생이 무엇을 읽어야합니까? 많은 옵션이 있으며 (다른 사람들은 자신의 선호도를 가질 수 있음), 저는 Howard Carmichael의 "Quantum Optics의 통계적 방법 : 비 고전적 분야", 특히 17-19 장, "Quantum Trajectories I- III ".

이 세 장에서 Carmichael의 텍스트는 Nielsen-Chuang 텍스트가 공식적인 가정과 이론으로 인코딩하는 것, 즉 프로젝션 측정 (비 프로젝션 측정도)을 다양한 방법으로 "해체"할 수있는 자유를 물리적으로 자극합니다. 물리적으로이 자유는 우리가 인과 적으로 분리 가능한 우주에 살도록 보장합니다. 수학적으로이 자유는 모든 양자 암호와 오류 수정의 기초입니다.

AFACIT는 1993 년에 이러한 정보의 불균형을 설명하기 위해 현재 표준 용어 인 "해결책"을 발명 한 것은 Carmichael 자신이었습니다. 그 이후로, 풀리지 않는 문학은 엄청나게 성장했다 : "quantum"과 "unraveling"에 대한 arxiv 서버의 전체 텍스트 검색은 762 개의 원고를 찾는다; 변형 철자 "unravelling"은 612 개 이상의 원고를 찾습니다 (어쩌면 일부 복제본 포함).

물론 양자 해소와 관련된 수학적 툴셋과 물리적 아이디어를 배우는 것은 많은 작업입니다. 이 노력을 갚기 위해 학생들이 합리적으로 기대할 수있는 혜택은 무엇입니까? 이에 대한 답으로 여기에 한 단락의 비유가 있는데, 그 주요한 장점은 두 개의 매우 길고 거친 양자 텍스트 (Nielsen-Chuang and Carmichael)를 읽는 것보다 훨씬 짧다는 것입니다.

옛날 옛적에, Alice라는 유클리드 기하학의 학생은 "유클리드 길이의 측정이 실제로 어떻게 작동합니까?" Euclidean은 Alice의 질문에 다음과 같이 대답했습니다. "모든 물리적 길이 측정은 수학적 모델이 수선의 한 부분 인 나침반에 의한 측정과 동일합니다." 그러나 창의적 상상력의 막대한 노력으로 Alice는 이에 상응하는보다 일반적인 대답을 고안했습니다. " 고전 역학을위한 Alice의 비 유클리드 프레임 워크는 많은 연구를해야했지만 그녀의 새로운 과학, 기술,

이 비유의 요점을 명확하게하기 위해 Alice는 고전적인 역학에 대한 차등적인 설명을 받아 들여 유클리드 공간의 엄격한 제약에서 벗어날 수있었습니다. 마찬가지로, 오늘날의 양자 학생들은 풀려나는 역학에 대한 차등 설명을 수용하여 힐버트 공간의 엄격한 제약에서 벗어날 수 있습니다.

비 유클리드 클래식 역학에서와 마찬가지로, 비-힐버트 양자 역학은 많은 연구를해야합니다. 현재 모든 필수 자료를 다루는 단일 교과서가 없습니다. 그러나이 새로운 비 유클리드 / 비 힐버트 역동적 인 프레임 워크는 탐험을위한 광대 한 새로운 세계를 열어 가고 있습니다. 이러한 탐구는 문자열 이론의 신비에서 화학 및 재료 과학에 효율적이고 검증 된 양자 시뮬레이션 코드를 작성해야하는 까다로운 과제까지 확장됩니다. 이 분야들에 대한 연구는 이미 학생들에게 고전적인 역학에 대한 깊은 이해와 양자 역학에 대한 깊은 이해가 필요하다는 것은 분명합니다.

그렇기 때문에 고전 역학과 양자 역학에 관련된 수학적 과제와 연구 기회가 현재보다 더 큰 적이 없었습니다. 어느 것이 좋니!