직접 곱 정리의 변형

비공식적으로, 직접 제품 정리 는 함수 의 인스턴스를 계산하는 것이 한 번 계산하는 것보다 어렵다고 말합니다 .f $k$$f$$f$

일반적인 직접 제품 정리 (예를 들어, 치아의 XOR 명제)에서 보면 평균 케이스 복잡도 이고, (매우 약) 주장 크기의 회로에 의해 계산 될 수 더 이상의 확률 , 그런 다음 사본 에 의해 계산 될 수없는 보다 확률 이 큰 크기 회로 .s p k f s ′ < s p $f$$s$$p$$k$$f$$s' < s$$p^k$

다른 유형의 직접적 제품 정리 (알고있는 경우)를 찾고 있습니다. 구체적으로 특별히:

(1) 오류 확률 수정하고 대신 에 개 사본 을 계산하는 데 필요한 회로의 크기에 관심이 있다고 가정 해 봅시다 . 만약 있다고 결과 있는가 크기의 회로에 의해 계산 될 수 더 이상의 확률 , 그런 다음 사본 더 이상의 확률로 계산 될 수없는 이하의 크기의 회로를 사용하여 ?k f f s p k f p O ( k ⋅ s $p$$k$$f$$f$$s$$p$$k$$f$$p$$O(k \cdot s)$

(2) 최악의 경우 와 관련하여 알려진 것은 무엇입니까 ? 예를 들어, 크기 회로에 의해 를 계산할 수 없다면 (0 오류) , 개 사본을 계산하는 복잡성 (0 오류)에 대해 어떻게 말할 수 있습니까?s k $f$$s$$k$$f$

모든 참조를 부탁드립니다.

(1) :이 질문은 Ronen Shaltiel의 "강력한 직접 제품 이론을 증명하기 위해"논문에서 연구되었으며, 그러한 추측이 틀린 것으로 판명되었습니다. 예를 들어, 는 확률로 계산 될 수 있습니다 크기가 보다 훨씬 작고 확률 질량 만 추가하면 크기 가 필요합니다 . 계산할 때이 경우, 에 인스턴스를, 상기 회로는 해결할 수 보다 더 작은 크기를 갖는 경우의 대부분 및 크기를 필요 에만 인스턴스에 몇.0.99 * P 의 0.01 * P S F K F S $f$$0.99 * p$$s$$0.01 * p$$s$$f$$k$$f$$s$$s$

(2) : 최악의 경우 복잡도에 대한 직접 곱 정리는 공식과 모노톤 회로에 대해 알려져 있지만 실제로는 일반 회로에 대해서는 틀린 것으로 알려져 있습니다. 쉬운 예를 들어, 입력을 벡터로보고 고정 된 부울 행렬을 곱하는 함수 을 고려하십시오 . 그런 다음 함수 계산하려면 크기가 필요할 수 있지만 인스턴스 에서 계산하는 것은 행렬 곱셈 알고리즘을 사용하여 보다 훨씬 빠르게 수행 할 수 있습니다 . Ingo Wegener의 "부울 함수의 복잡성"책에서이 주제에 대한 자세한 설명을 찾을 수 있습니다. 여기서 10.2 장을 참조하십시오. n × n f n 2 n n $f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^n$$n \times n$$f$$n^2$$n$$n^3$http://eccc.hpi-web.de/static/books/The_Complexity_of_Boolean_Functions/ .

Or의 대답을 보완하기 위해, (1) [k 개의 사본을 잘 처리하는 데 필요한 자원의 양]의 풍미에 대한 질문을 연구했으며 해당 이론을 "직접 합 정리"라고합니다. 직접 곱 정리와 마찬가지로 직접 합 정리는 설정에 따라 유지되거나 유지되지 않을 수 있습니다.