“예리한”정점이 거의없는 그래프를 그리시겠습니까?

직선 모서리가있는 평면에 평면 그래프를 평면으로 임베드하는 경우 두 개의 연속 모서리 사이의 최대 각도가 180보다 큰 경우 정점을 날카로운 정점으로 정의합니다. 즉, 통과하는 선이있는 경우 그 정점에 입사하는 모든 가장자리가 선의 한쪽에 놓 이도록 임베딩에 정점을두면 정점은 "날카 로워"그렇지 않으면 그렇지 않습니다. 또한 학위가 3 이상인 정점에 대해서만 걱정합시다.

날카로운 정점이 거의없는 평면 그래프를 그리고 싶습니다. 아무도 그런 그림을 공부 한 적이 있습니까?

특히 임베딩에서 학위 3의 날카로운 정점 수가 이고 정점의 좌표를 다항식 비트 수로 쓸 수 있도록 최대 3 도의 평면 그래프를 그리려고합니다 .$O(\log n)$

다음은 Google Scholar에서 시간을 보낸 후 찾을 수있는 내용입니다.

정점의 선명도를 측정하는 방법은 이미 연구 된 Angular Resolution 개념과 관련이 있습니다. Wikipedia에서 :

그래프 그림의 각도 해상도는 그림의 공통 정점에서 만나는 두 개의 모서리로 형성된 가장 날카로운 각도를 나타냅니다.

따라서 3도 정점 주위의 각도 해상도 갖는 평면 도면이 제 목적에 좋습니다.$\pi/2$

도면에서 차수가 정점의 경우 주위의 각 분해능은 최대 있습니다.$d$$2\pi/d$

이것이 빡빡했는지에 대한 질문은 과거에 연구되었지만, 나는 점근 적 결과 만 찾을 수 있습니다. 예를 들어 Malitz와 Papakostas 는 최대 각도 평면 그래프를 각도 분해능 로 그릴 수 있음을 증명 합니다 . 그러나이 결과는 경우에 좋은 경계를주지 않습니다 .$d$$\alpha^d$$d=3$

이중 연결 성분 (예 : 이 논문 의 그림 16 참조 하여 3 개의 규칙적인 평면 그래프를 구성 할 수 있으며 , 각각은 하나 이상의 날카로운 정점을 포함해야합니다.$\Theta(n)$

반면에 더 높은 수준의 연결이 필요한 경우 많은 정점을 피할 수 있습니다. 특히, 3 개의 연결된 평면 그래프가있는 경우 모든면이 볼록한 방식으로 (예를 들어 Steinitz의 정리를 사용하여 다면체 표현을 찾은 다음 투시 투영을 형성하여) 그릴 수 있습니다. 외부면이 날카 로워집니다. 그러나 모든 3 개의 연결된 평면 그래프는 외부면에 최대 5 개의 정점이있는 방식으로 임베드 될 수 있으므로 (최악의 경우 12 면체 임) 최대 5 개의 정점.