?

Dick Lipton의 블로그를 읽는 동안 그의 Bourne Factor 게시물 끝 부분에서 다음 사실을 발견 했습니다.

모든 에 대해 형식의 관계가있는 경우 여기서 이고, 각각의 , 및 는 비트 길이에서 입니다. 팩토링에는 다항식 크기의 회로가 있습니다. $n$
$(2^{n})! = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_{k} b_{k}^{c_{k}}$ $(2^n)! = \sum_{k=0}^{m-1} a_k b_k^{c_k}$ $m = poly(n)$ $a_k$ $b_k$ $c_k$ $poly(n)$

즉, 지수 비트 수를 갖는 을 잠재적으로 효율적으로 나타낼 수있다. $(2^n)!$

몇 가지 질문이 있습니다.

누군가 위의 관계에 대한 증거를 제공하고 이름을 말하거나 참조를 제공 할 수 있습니까?
내가 당신을 줄 것 인 경우에 , 및 각 , 와 , 당신은 내게 관계의 유효성을 확인하는 다항식 시간 알고리즘을 제공 할 수있다 (즉,가에있는 )? $n$ $m$ $a_k$ $b_k$ $c_k$ $NP$

— 사용자 834
소스

그 블로그 게시물이 실제로 대화를 주장하지 않습니까? 즉, 위의 방정식이

에는 일반적으로 해 가 있으며 다항식 크기의 회로를 인수 분해합니다.

(2^{n})! = \sum \dots

$(2^n)! = \sum \cdots$

— mikero

Dick Lipton이 쓴 대화를 실제로 쓴 것 같습니다. 그는 그러한 방정식이 모든

대해 존재한다면 , 인수 분해는 다항식 크기 회로를 가지고 있다고 말한다 . 따라서 인수 분해가 불균일하게 단단하지 않은 경우 (무한한 많은

), 위 형식의 방정식은 존재하지 않습니다 (무한한 많은

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— Sasho Nikolov

@ mikero, SashoNikolov, 둘 다 맞습니다. 사과드립니다. 내 질문을 편집했습니다.

— user834 2016 년

"다항식 시간 알고리즘"은 일반적으로 균일 한 알고리즘을 의미합니다. Lipton의 게시물은 팩토링을위한 다상 회로 제품군의 존재만을 주장합니다.

— Sasho Nikolov

참고 위해이 속성에 해당되기 위해서는 것을

및

되어야

비트의 크기 / 립톤 블로그 / 및 위에 언급 한 바와 같이

정수로서 . 당신의 정의는 명확하지 않습니다.

a_{k}

$a_k$

b_{k}

$b_k$

c_{k}

$c_k$

p o l y (n)

$poly(n)$

p o l y (2^{n})

$poly(2^n)$

— Gopi

나는 문제로 왜의 관계에 대해 언급합니다 (모든 )가 인수 분해에 도움이됩니다. 나는 논쟁을 끝내지 못하지만 누군가는 할 수 있습니다.

(2^{n})! = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_{k} b_{k}^{c_{k}}

$(2^n)! = \sum_{k=0}^{m-1} a_k b_k^{c_k}$

n

$n$

제 관찰 관계가 상기와 같이 (및보다 일반적으로, 폴리에 대한 크기 연산 회로가 존재한다는 것이다 ) 산출 폴리 사이즈 제공 회로 에 대한 진에 주어진는 : 단순히 모듈 합을 평가 반복 제곱으로 지수를 사용. $(2^n)!$ $(2^n)!\bmod x$ $x$ $x$

이제, 우리는 계산할 수 있다면 임의 위해 , 우리가 요소 수 : 이진 검색을 사용하면, 가장 작은 찾을 등이 우리가 사용하여 계산할 수 있습니다 ( ). 그런 다음 는 의 가장 작은 소수입니다 . $y!\bmod x$ $y$ $x$ $y$ $\gcd(x,y!)\ne1$ $\gcd(x,(y!\bmod x))$ $y$ $x$

우리는 단지의 능력을 할 수 있다면 위해 , 우리는 여전히 컴퓨팅을 시도 할 수 있습니다 모든에 대한 . 이들 중 하나의 사소 나누는 것 이 생길 때 불행한 경우를 제외하고, 되도록 에 서로 소이다 , 나누기 . 이것은 를 말하는 것과 같습니다. $2$ $y$ $\gcd(x,(2^n)!)$ $n\le\log x$ $x$ $n$ $x$ $(2^n)!$ $(2^{n+1})!$ $x$ 는 사각형이 없으며 모든 주요 요소의 비트 길이가 동일합니다. 이 경우 (무엇보다 중요한 Blum 정수 참조) 경우에 무엇을 해야할지 모르겠습니다.

— Emil Jeřábek은 Monica를 지원합니다
소스

관계는 (모두 보유하는 경우

), 아마도 또한 (다른 선택으로 보유

및

)을 대체 한 경우

다른 (소) 프라임과

가 발견 될 때까지

가

공동 프라이밍 될 때까지 아마 탐색 할 수있다

그리고

아닙니다

n

$n$

a_{k}

$a_k$

b_{k}

$b_k$

c_{k}

$c_k$

2

$2$

p

$p$

p

$p$

x

$x$

(p^{n})!

$(p^n)!$

(p^{n + 1})!

$(p^{n+1})!$

— user834