양자 게이트 세트의 보편성을 점검하기위한 결정 성 / 알고리즘

한정된 양자 게이트 세트 은 가 범용 게이트 세트 인지 결정할 수 (계산 이론적 의미에서) ? 한편으로, "거의 모든"게이트 세트는 보편적이며, 다른 한편, 비 유니버설 게이트 세트는 여전히 잘 이해되지 않는다 (특히, 모든 비 유니버설 게이트 세트가 고전적으로 시뮬레이션 가능한지 여부는 알려져 있지 않다), 따라서 보편성을 검사하기위한 명시 적 알고리즘을 제공하는 것이 쉽지 않을 것이라고 생각합니다. $\mathcal{G} = \{G_1, \dots, G_n\}$ $\mathcal{G}$

quantum-computing

— 마르신 코토 프 스키
소스

질문을 명확히 할 수 있습니까? Joe의 답변은 고정 된 수의 큐 비트가 있고 모든 게이트가 그에 대해 동작한다고 가정하지만, 보편성을 위해 게이트는 큐 비트의 하위 집합에 작용할 수 있다고 가정합니다. 예를 들어, 한 큐빗 게이트가 첫 번째 큐 비트에서만 작동 할 수 있고 CNOT가 큐 비트 1에서 큐 비트 2까지만 작용한다면 CNOT + 모든 1 큐빗 게이트는 보편적이지 않습니다. 보편성을 얻기 위해. 이 경우에는 그 대답을 알 수 없다고 생각합니다.

@DanielGottesman : 나는 대답의 한계에 동의합니다. 실제로, 나는 후자의 경우 다음과 같이 결정할 수 없다고 생각합니다. 무한 큐빗 격자에서 셀룰러 오토마타를 가져 와서 정지 문제를 인코딩하는 데 사용하십시오 (이 업데이트 단위 ). 그런 다음 범용 QCA로 두 번째 격자를 작성하십시오 (업데이트 단위 ). 새로운 단일 . 여기서 아래 첨자 는 첫 번째 셀룰러 에서 설정된 큐 비트를 나타냅니다. 오토마타가 멈 춥니 다.

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

C U_{2} = | 0 ⟩ ⟨ 0 |_{H} \otimes I + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$CU_2 = |0\rangle\langle0|_H\otimes I + |1\rangle\langle1|\otimes U_2$

H

$H$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

— Joe Fitzsimons

따라서 게이트 은 첫 번째 튜링 기계가 멈추는 경우에만 보편적이므로 결정 불가능합니다.

C U_{2} \times U_{1}

$CU_2 \times U_1$

— Joe Fitzsimons

해밀턴 사람들의 경우, 문보다는 대답이 사소한 것입니다. 당신은 단순히 대수의 독립 요소를 열거합니다. Lie 대수는 Lie 대괄호 연산자가 추가 된 벡터 공간이므로 공간이 유한하기 때문에 유한 기반을 가지고 있으며 Lie 브래킷 조작으로 닫혔는지 열 었는지 쉽게 확인할 수 있습니다. 모든 직교 연산자 쌍의 Lie 브래킷을 간단히 확인하면 공간의 차원에서 시간 다항식으로 수행 할 수 있으며 Gram-Schmidt 방법으로 적절한 연산자 기준을 찾을 수 있습니다.

게이트의 경우, 실제로 무한대에 직접 의존 할 수있는 동일한 옵션이 없으며, 필요한 무한대 생성기를 임의로 근사 할 수 있도록 비이성 고유 값으로 게이트를 구성해야합니다. 이 작업을 수행하는 비교적 간단한 방법이 있다고 생각하지만 즉시 나에게 분명하지는 않습니다.

어쨌든, 게이트 로그를 취하여 지수화 할 때 그것들을 생성하는 일련의 연산자를 얻고 그것들이 완전한 Lie 대수학을 생성했는지 여부를 확인하면 보편적이지만 충분하지 않은 보편적 기준을 제공 할 것입니다.

— 조 피츠 시몬스
소스

왜 우리는 쌍만 확인해야합니까?

— Alex 'qubeat'1

@AlexV : Lie 브래킷이 2 개의 입력에서 작동하기 때문입니다. 새로운 선형 독립 연산자를 생성 할 때마다 직교 연산자를 생성하고 닫힐 때까지 반복합니다.

— Joe Fitzsimons 2012 년

나는 당신이 고려해야한다는 것을 의미 아니라 내 논문 arxiv.org/abs/quant-ph/0010071

[\dots [H_{k}, H_{j}], H_{l}], \dots]

$[\ldots[H_k,H_j],H_l],\ldots]$

— Alex 'qubeat'Jan

@AlexV : 필요하지 않습니다. 벡터 공간이므로 벡터는 주어진 부분 공간과 직교 인 경우에만 주어진 부분 공간과 직교합니다.

— Joe Fitzsimons 2012 년

아마도 우리는 다른 것들에 대해 이야기하고 있습니다-어떤 벡터 공간에 대해 이야기하고 있습니까? 당신은 당신의 문에 의해 생성 된 대수를 처음부터 알지 못합니다-주어진 해밀턴 사람들로부터 대수를 확인하기 위해 그것을 구성해야합니다.

— Alex 'qubeat'1